(3,0 pt) Uma amostra de 6,0 \mathrm{~L} de um gás diatômico, confinado em um cilindro, realiza um ciclo fechado. O gás está inicialmente a 1,0 \mathrm{~atm} e 292 K . Primeiro, sua pressão é duplicada a volume constante. Então, o gás é comprimido a temperatura constante até o volume de 1,0 \mathrm{~L}. Finalmente, o gás sofre uma expansăo adiabática até seu volume original. a) Trace o diagrama PV deste ciclo. b) Encontre a temperatura e a pressão do gás ao final da compressão isotérmica. c) Qual foi o trabalho resultante realizado sobre o gás para este ciclo? Se necessário, explique suas respostas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos n mols de um gás diatômico ideal inicialmente em P_{0}=1{,}0,atm, V_{0}=6{,}0,L e T_{0}=292,K. O ciclo fechado consiste em três etapas:
  1. Aquecimento isocórico até dobrar a pressão.
  2. Compressão isotérmica até V=1{,}0,L.
  3. Expansão adiabática que devolve o volume ao valor inicial.
    Para resolver usamos a lei dos gases ideais PV=nRT, a expressão do trabalho em processo isotérmico
W_{\rm iso} = nRT\ln\frac{V_{f}}{V_{i}}
e, para o processo adiabático reversível de gás ideal,
W_{\rm ad} = \frac{P_iV_i - P_fV_f}{\gamma-1},
com \gamma = 7/5 para gás diatômico.

Passo 2

Diagrama P\emph{–} V qualitativo:
  • Traço vertical de (6{,}0\,,1{,}0) até (6{,}0\,,2{,}0) (isocórico, P duplica).
  • Ramo isotérmico de (6{,}0\,,2{,}0) até (1{,}0\,,P_2), curvado conforme PV= const.
  • Curva adiabática de volta de (1{,}0\,,P_2) a (6{,}0\,,1{,}0), fechando o ciclo.

Passo 3

Estado após o aquecimento isocórico (etapa 1):
P_1 = 2P_0 = 2{,}0\text{ atm},\quad V_1 = V_0 = 6{,}0\text{ L}.
Pela lei dos gases ideais,
\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_0V_0}{T_0} \quad\Longrightarrow\quad T_1 = T_0\,\frac{P_1}{P_0} = 292\cdot 2 = 584\text{ K}.

Passo 4

Fim da compressão isotérmica (etapa 2): a temperatura permanece T_2=T_1=584,K e o volume vai de 6{,}0 para 1{,}0,L. Da equação P_1V_1 = P_2V_2 segue
P_2 = P_1\,\frac{V_1}{V_2} = 2{,}0\text{ atm}\,\frac{6{,}0}{1{,}0} = 12\text{ atm}.

Passo 5

Cálculo do trabalho resultante sobre o gás (etapa 2 + 3, pois na isocórica W=0):
Isotérmico (compressão)
W_{\rm by}^{\rm iso} = nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1} \quad\text{e}\quad nR = \frac{P_0V_0}{T_0} = \frac{1{,}0\cdot6{,}0}{292} \;\frac{\text{atm}\cdot\text{L}}{\text{K}}
mas é mais direto usar
nRT_1 = P_0V_0\frac{T_1}{T_0} = 6{,}0\;\text{L·atm}\times2 = 12\;\text{L·atm},
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W_{\rm by}^{\rm iso} =12\ln\frac{1{,}0}{6{,}0} = -12\ln6\approx -21{,}5\;\text{L·atm}.
Trabalho \emph{sobre} o gás: W_{\rm on}^{\rm iso}=+21{,}5,L·atm.
Adiabático (expansão)
Inicia em (P_2V_2)=12,L·atm e termina em (P_3V_3)=1{,}0\cdot6{,}0=6,L·atm, com \gamma=7/5.
W_{\rm by}^{\rm ad} =\frac{P_2V_2 - P_3V_3}{\gamma-1} =\frac{12 - 6}{0{,}4}=15\;\text{L·atm},
então W_{\rm on}^{\rm ad}=-15,L·atm.
Somando
W_{\rm on,total} =0 + 21{,}5 + (-15) =6{,}5\;\text{L·atm} \approx 6{,}5\times101{,}3 = 660\;\text{J}.

Resposta

a) Ciclo PV: vertical de (6,1) a (6,2), isotérmico de (6,2) a (1,12), adiabático de volta a (6,1).
b) T=584,K e P=12,atm.
c) Trabalho resultante sobre o gás \approx 660,J.

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