( \mathbf{2 , 0 ~ p t} ) Uma máquina de Carnot opera entre dois reservatórios a 23^{\circ} \mathrm{C} e 129^{\circ} \mathrm{C} com uma potència de saída de 45 kW . a) Qual a quantidade de energia que entra na máquina e qual a quantidade de energia que é perdida por calor a cada hora? b) É possivel uma outra máquina térmica operar entre estes dols reservatórios com uma eficiência/rendimento de 24 \%(\mathrm{E}=0,24) ? Se necessário, explique suas respostas.

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de Carnot que opera entre dois reservatórios a 23^\circ\mathrm C e 129^\circ\mathrm C com potência de saída P=45\,\mathrm{kW}. Pede-se em (a) a energia que entra na máquina e a energia rejeitada por hora e em (b) se outra máquina entre esses mesmos reservatórios pode ter eficiência \eta=0,24. Para resolver precisamos usar o rendimento de Carnot
\eta_{\rm Carnot}=1-\frac{T_{\rm fria}}{T_{\rm quente}}
e as relações
P=\eta\,Q_{\rm in\,(rate)}, \quad Q_{\rm out\,(rate)}=Q_{\rm in\,(rate)}-P,
depois converter potência em energia por hora.

Passo 2

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
T_{\rm fria}=23^\circ\mathrm C=23+273=296\,\mathrm K,
T_{\rm quente}=129^\circ\mathrm C=129+273=402\,\mathrm K.

Passo 3

Calcular o rendimento de Carnot:
\eta_{\rm Carnot} =1-\frac{T_{\rm fria}}{T_{\rm quente}} =1-\frac{296}{402} \approx1-0,7363 =0,2637\approx26,37\%.

Passo 4

Determinar a potência de calor de entrada ( Q_{\rm in\,(rate)}) usando
P=\eta_{\rm Carnot}\,Q_{\rm in\,(rate)} \quad\Longrightarrow\quad Q_{\rm in\,(rate)}=\frac{P}{\eta_{\rm Carnot}} =\frac{45\,\mathrm{kW}}{0,2637} \approx170{,}7\,\mathrm{kW}.
A potência de calor rejeitado é
Q_{\rm out\,(rate)}=Q_{\rm in\,(rate)}-P =170{,}7-45 =125{,}7\,\mathrm{kW}.

Passo 5

Converter potências em energias por hora (uma hora =3600\,\mathrm s):
E_{\rm in\,(h)}=Q_{\rm in\,(rate)}\times3600\,\mathrm s =170{,}7\,\mathrm{kW}\times3600\,\mathrm s =614\,520\,\mathrm{kJ} =614{,}5\,\mathrm{MJ},
E_{\rm out\,(h)}=Q_{\rm out\,(rate)}\times3600\,\mathrm s =125{,}7\,\mathrm{kW}\times3600\,\mathrm s =452\,520\,\mathrm{kJ} =452{,}5\,\mathrm{MJ}.

Passo 6

Para (b), o rendimento máximo entre esses reservatórios é \eta_{\rm Carnot}\approx0,2637. Como 0,24<0,2637, uma máquina com \eta=0,24 está abaixo do limite de Carnot e portanto é possível.

Resposta

a) A cada hora entram cerca de 614{,}5\,\mathrm{MJ} de calor na máquina e são rejeitados cerca de 452{,}5\,\mathrm{MJ}.
b) Sim, é possível ter outra máquina térmica com rendimento \eta=0,24 pois isso é inferior ao rendimento de Carnot ( \approx0,2637).

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