Uma urna contém seis bolas, das quais
são brancas e
são pretas. Para testar a hipótese da nulidade de que
contra a hipótese alternativa de que
, são retiradas da urna duas bolas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese de nulidade se as duas forem da mesma cor.
a) Determine a probabilidade de cometer erro do tipo I.
b) Determine o poder do teste para os diferentes valores de
possíveis.
a) Determine a probabilidade de cometer erro do tipo I.
b) Determine o poder do teste para os diferentes valores de
Passo 1
O enunciado diz que temos uma urna com seis bolas, sendo θ brancas e 6−θ pretas. Vamos testar H₀:θ=3 contra H₁:θ≠3, retirando duas bolas sem reposição e rejeitando H₀ se saírem duas bolas da mesma cor. O conteúdo aqui é teste de hipóteses discreto usando distribuição hipergeométrica.
Passo 2
Para calcular a probabilidade de erro tipo I (α), avaliaremos a probabilidade de rejeitar H₀ quando θ=3. Nesse caso, o número de bolas brancas é 3 e o de pretas também 3. Assim,
Passo 3
Passo 4
Sabendo que
e
, temos
.
Passo 5
Para o poder do teste, definimos a função de potência π(θ) como a probabilidade de rejeitar H₀ sob cada valor de θ. Em geral,
Passo 6
Passo 7
Agora basta calcular π(θ) para θ=0,1,2,3,4,5,6, usando
e
.
Resposta
a) A probabilidade de erro tipo I é α=2/5.
b) O poder do teste é
theta : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
π(θ) : 1 , 2/3 , 7/15 , 2/5 , 7/15 , 2/3 , 1
b) O poder do teste é
theta : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
π(θ) : 1 , 2/3 , 7/15 , 2/5 , 7/15 , 2/3 , 1