Uma urna contém seis bolas, das quais theta são brancas e 6-theta são pretas. Para testar a hipótese da nulidade de que theta=3 contra a hipótese alternativa de que theta neq 3, são retiradas da urna duas bolas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese de nulidade se as duas forem da mesma cor.
a) Determine a probabilidade de cometer erro do tipo I.
b) Determine o poder do teste para os diferentes valores de theta possíveis.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com seis bolas, sendo θ brancas e 6−θ pretas. Vamos testar H₀:θ=3 contra H₁:θ≠3, retirando duas bolas sem reposição e rejeitando H₀ se saírem duas bolas da mesma cor. O conteúdo aqui é teste de hipóteses discreto usando distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de erro tipo I (α), avaliaremos a probabilidade de rejeitar H₀ quando θ=3. Nesse caso, o número de bolas brancas é 3 e o de pretas também 3. Assim,

Passo 3

P(erro I)=P(2,brancas)+P(2,pretas)=binom32+binom32binom62

Passo 4

Sabendo que binom32=3 e binom62=15, temos α=tfrac615=tfrac25.

Passo 5

Para o poder do teste, definimos a função de potência π(θ) como a probabilidade de rejeitar H₀ sob cada valor de θ. Em geral,

Passo 6

π(θ)=P(2,brancas)+P(2,pretas)=binomθ2+binom6-θ2binom62

Passo 7

Agora basta calcular π(θ) para θ=0,1,2,3,4,5,6, usando binomn2=n(n-1)/2 e binom62=15.

Resposta

a) A probabilidade de erro tipo I é α=2/5.
b) O poder do teste é
theta : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
π(θ) : 1 , 2/3 , 7/15 , 2/5 , 7/15 , 2/3 , 1

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