Uma amostra de quatro valores da variável aleatória X, com distribuição normal, apresentou os valores 4, 8, 4e 4.
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de X.
b) Determine o intervalo de 95 % de confiança para a média da população.
c) Teste, ao nível de confiança de 5 %, a hipótese de que a média da população é mu=2,5, contra a hipótese de que a média da população é maior que 2,5 .

Passo 1

A gente tem uma amostra de tamanho n = 4 com os valores X = {4, 8, 4, 4}. O conteúdo aqui é estatística para distribuição normal com σ desconhecido: vamos precisar estimar a média e desvio padrão, montar um intervalo de confiança usando a distribuição t de Student e depois fazer um teste de hipótese unilateral.

Passo 2

Para estimar a média populacional usamos o estimador da média amostral bar x = 1n sumi=1^n Xi. Calculando: sum Xi = 4 + 8 + 4 + 4 = 20, então bar x = 20/4 = 5.
Para estimar o desvio padrão populacional quando σ é desconhecido usamos o desvio padrão amostral não viciado: s = raiz1n-1 sumi=1^n (Xi - bar x)^2 Aqui (4-5)^2 + (8-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 = 1 + 9 + 1 + 1 = 12, logo s = raiz12/3 = 2.

Passo 3

Para o intervalo de confiança de 95% da média, com σ desconhecido e amostra pequena, usamos bar x pm talpha/2,,n-1 sraizn Aqui n-1 = 3 graus de liberdade e t0.975,3 approx 3,182. A margem de erro é 3,182 cdot (2/raiz4) = 3,182. Então o intervalo é 5 pm 3,182, ou seja aproximadamente (1,818, 8,182).

Passo 4

Para testar H₀: μ = 2{,}5 vs H₁: μ > 2{,}5 ao nível de 5%, usamos o estatístico t = bar x - μ0s/raiz n = 5 - 2,52/2 = 2,5 O valor crítico para um teste unilateral com 3 graus de liberdade é t0.95,3 approx 2,353. Como 2,5 > 2,353, rejeitamos H₀, concluindo que a média é maior que 2,5.

Passo 5

Resumo final: média amostral 5, desvio padrão amostral 2, intervalo de confiança de 95% para μ é (1,818; 8,182) e no teste unilateral a 5% rejeitamos a hipótese de que μ = 2,5 em favor de μ > 2,5.

Resposta

a) hatmu = 5, s = 2. b) Intervalo de 95%: (1,818,;8,182). c) Estatística t = 2,5 > 2,353, rejeita-se H₀ a 5%, concluindo-se que mu > 2,5.

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