Calcule:
(b) lim t 2 F(t), onde

Passo 1

O exercício pede o limite de uma função vetorial vec F(t) quando tto2. O conteúdo é cálculo de limites via análise componente a componente, usando fatoração de polinômios para indeterminações e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Para o primeiro componente f1(t)=t^3-8t^2-4, notamos que ao substituir t=2 obtemos 0/0. Fatoramos numerator e denominador:
t^3-8t^2-4=(t-2)(t^2+2t+4)(t-2)(t+2)=t^2+2t+4t+2
Agora podemos substituir t=2:
limtto2f1(t)=2^2+2cdot2+42+2=4+4+44=3

Passo 3

Para o segundo componente f2(t)=cosl(pi4r)t-2, o numerador é a constante cos(pi/4)=tfracraiz22 e o denominador tende a zero quando tto2. Logo
$$\lim_{t\to2}f_2(t)=\frac{\sqrt2/2}{0}=indefinido (diverge).
$$

Passo 4

Para o terceiro componente f3(t)=2t, é função contínua, então basta substituir:
limtto22t=4

Passo 5

Como o segundo componente diverge, o limite da função vetorial vec F(t) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois o segundo componente diverge.

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