Uma amostra radioativa emite, em média, 10 partículas por minuto. Qual a probabilidade de emitir exatamente 15 partículas em um minuto?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo partículas emitidas por uma amostra radioativa. Mais especificamente, a média é de 10 partículas por minuto, e queremos saber qual a chance de exatamente 15 partículas serem emitidas em um minuto. Vamos usar o conteúdo de distribuição de Poisson para resolver isso, que é super útil quando lidamos com eventos que acontecem aleatoriamente em um intervalo de tempo fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo de tempo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula para a distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
- $ \lambda $ é a média de eventos no intervalo de tempo,
- $ e $ é a constante de Euler (~2,71828),
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
No nosso caso, a média $ \lambda $ é 10 partículas por minuto, e queremos achar a probabilidade de exatamente $ k = 15 $ partículas serem emitidas em um minuto.
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte:
- $ 10^{15} $ é 10 elevado à 15ª potência.
- $ e^{-10} $ é a constante $ e $ elevada a -10.
- $ 15! $ é o fatorial de 15, que é $ 15 \times 14 \times 13 \times \dots \times 1 $.
Usando uma calculadora ou software para calcular esses valores:
- $ 10^{15} = 1 \times 10^{15} $
- $ e^{-10} \approx 4.539993 \times 10^{-5} $
- $ 15! = 1.307674 \times 10^{12} $
Passo 5
Agora, colocando tudo junto:
Vamos multiplicar os numeradores:
$ 1 \times 10^{15} \times 4.539993 \times 10^{-5} = 4.539993 \times 10^{10} $
Agora, dividir pelo denominador:
$ \frac{{4.539993 \times 10^{10}}}{{1.307674 \times 10^{12}}} \approx 0.0347 $
Resposta
A probabilidade de a amostra radioativa emitir exatamente 15 partículas em um minuto é de aproximadamente 3,47%.