Uma amostra radioativa emite, em média, 10 partículas por minuto. Qual a probabilidade de emitir exatamente 15 partículas em um minuto?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo partículas emitidas por uma amostra radioativa. Mais especificamente, a média é de 10 partículas por minuto, e queremos saber qual a chance de exatamente 15 partículas serem emitidas em um minuto. Vamos usar o conteúdo de distribuição de Poisson para resolver isso, que é super útil quando lidamos com eventos que acontecem aleatoriamente em um intervalo de tempo fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo de tempo, dado que esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula para a distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
  • $ \lambda $ é a média de eventos no intervalo de tempo,
  • $ e $ é a constante de Euler (~2,71828),
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

No nosso caso, a média $ \lambda $ é 10 partículas por minuto, e queremos achar a probabilidade de exatamente $ k = 15 $ partículas serem emitidas em um minuto.
Vamos substituir esses valores na fórmula:
lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. $ 10^{15} $ é 10 elevado à 15ª potência.
  2. $ e^{-10} $ é a constante $ e $ elevada a -10.
  3. $ 15! $ é o fatorial de 15, que é $ 15 \times 14 \times 13 \times \dots \times 1 $.
Usando uma calculadora ou software para calcular esses valores:
  • $ 10^{15} = 1 \times 10^{15} $
  • $ e^{-10} \approx 4.539993 \times 10^{-5} $
  • $ 15! = 1.307674 \times 10^{12} $

Passo 5

Agora, colocando tudo junto:
P(15; 10) = 1 times 10^15 times 4.539993 times 10^-51.307674 times 10^12
Vamos multiplicar os numeradores:
$ 1 \times 10^{15} \times 4.539993 \times 10^{-5} = 4.539993 \times 10^{10} $
Agora, dividir pelo denominador:
$ \frac{{4.539993 \times 10^{10}}}{{1.307674 \times 10^{12}}} \approx 0.0347 $

Resposta

A probabilidade de a amostra radioativa emitir exatamente 15 partículas em um minuto é de aproximadamente 3,47%.

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