Uma fábrica produz componentes eletrônicos com uma taxa média de defeitos de 1 por milhão. Qual o tamanho de um lote para que a probabilidade de encontrar pelo menos um defeito seja de 95 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma fábrica produz componentes eletrônicos com uma taxa média de defeitos de 1 por milhão. A pergunta é: qual o tamanho do lote que a gente precisa produzir para ter 95% de chance de encontrar pelo menos um defeito? Vamos usar conceitos de probabilidades para resolver isso, mais especificamente a probabilidade de ocorrências independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade de pelo menos um defeito”. Na teoria das probabilidades, isso é o mesmo que 1 menos a probabilidade de não ter nenhum defeito no lote. Então, se chamarmos a probabilidade de não ter defeitos de $ P(nenhum) $, temos:
P(nenhum)
A gente quer que $ P(pelo menos um) = 0{,}95 $ ou 95%.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P(nenhum) $. Se a taxa de defeitos é de 1 por milhão, a probabilidade de um componente não ser defeito é:
P(nenhum) ã
Se produzirmos $ n $ componentes, e assumindo que cada um é independente, a probabilidade de nenhum deles ser defeito é:
P(não defeito) = 1 - 11,000,000 = 0,999999

Passo 4

Vamos colocar tudo junto na equação que criamos:
1 - (0,999999)^n = 0,95
Isso significa que:
(0,999999)^n = 0,05

Passo 5

Para resolver para $ n $, vamos usar logaritmos. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
n
Usando a propriedade dos logaritmos:
ln((0,999999)^n) = ln(0,05)
Então isolando $ n $:
n cdot ln(0,999999) = ln(0,05)

Passo 6

Vamos calcular os valores:
ln(0,05) approx -2,995732274
ln(0,999999) approx -0,000001
Então:
n approx -2,995732274-0,000001 approx 2,995732274 times 10^6
Ou seja, aproximadamente 3 milhões de componentes.

Resposta

O tamanho do lote necessário é de aproximadamente $ 3{,}00 \times 10^{6} $ componentes.

Exercícios relacionados