Uma fábrica produz componentes eletrônicos com uma taxa média de defeitos de 1 por milhão. Qual o tamanho de um lote para que a probabilidade de encontrar pelo menos um defeito seja de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma fábrica produz componentes eletrônicos com uma taxa média de defeitos de 1 por milhão. A pergunta é: qual o tamanho do lote que a gente precisa produzir para ter 95% de chance de encontrar pelo menos um defeito? Vamos usar conceitos de probabilidades para resolver isso, mais especificamente a probabilidade de ocorrências independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade de pelo menos um defeito”. Na teoria das probabilidades, isso é o mesmo que 1 menos a probabilidade de não ter nenhum defeito no lote. Então, se chamarmos a probabilidade de não ter defeitos de $ P(nenhum) $, temos:
A gente quer que $ P(pelo menos um) = 0{,}95 $ ou 95%.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ P(nenhum) $. Se a taxa de defeitos é de 1 por milhão, a probabilidade de um componente não ser defeito é:
Se produzirmos $ n $ componentes, e assumindo que cada um é independente, a probabilidade de nenhum deles ser defeito é:
Passo 4
Vamos colocar tudo junto na equação que criamos:
Isso significa que:
Passo 5
Para resolver para $ n $, vamos usar logaritmos. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos:
Então isolando $ n $:
Passo 6
Vamos calcular os valores:
Então:
Ou seja, aproximadamente 3 milhões de componentes.
Resposta
O tamanho do lote necessário é de aproximadamente $ 3{,}00 \times 10^{6} $ componentes.