A probabilidade de uma semente germinar é de 0,7. Se forem plantadas 20 sementes, qual a probabilidade de que pelo menos 15 sementes germinem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de uma semente germinar, que é 0,7, ou seja, 70%. A gente plantou 20 sementes e queremos saber qual a chance de pelo menos 15 delas germinarem. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, sabendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos:
  • Um número fixo de tentativas (no caso, 20 sementes).
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (germinar) ou fracasso (não germinar).
  • A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa (0,7).
  • As tentativas são independentes entre si.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (20 sementes).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (15, 16, 17, 18, 19 ou 20).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,7).

Passo 3

Como a gente quer a probabilidade de pelo menos 15 sementes germinarem, precisamos calcular a probabilidade de exatamente 15, 16, 17, 18, 19 e 20 sementes germinarem e somar todas essas probabilidades.
Então, vamos calcular $ P(X \geq 15) $ que é:
P(X >= 15)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial.
Para $ P(X = 15) $:
P(X = 15)
Fazendo o mesmo para $ X = 16, 17, 18, 19, 20 $:
P(X = 15) = binom2015 times 0,7^15 times 0,3^5
X = 16, 17, 18, 19, 20
P(X = 16) = binom2016 times 0,7^16 times 0,3^4
P(X = 17) = binom2017 times 0,7^17 times 0,3^3
P(X = 18) = binom2018 times 0,7^18 times 0,3^2

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um desses termos. As combinações $ \binom{20}{k} $ representam quantas maneiras diferentes podemos escolher $ k $ sucessos em 20 tentativas.
Por exemplo, $ \binom{20}{15} $ é o número de maneiras de escolher 15 sementes que vão germinar entre as 20 plantadas.
Vamos calcular cada uma:
binom20k
k
binom2015
binom2015 = 15504
binom2016 = 4845
binom2017 = 1140

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula, temos:
P(X = 15) = 15504 times 0,7^15 times 0,3^5
P(X = 16) = 4845 times 0,7^16 times 0,3^4
P(X = 17) = 1140 times 0,7^17 times 0,3^3
P(X = 18) = 190 times 0,7^18 times 0,3^2
P(X = 19) = 20 times 0,7^19 times 0,3^1
P(X = 20) = 1 times 0,7^20 times 0,3^0

Passo 7

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
P(X = 15) approx 15504 times 0,004747 times 0,00243 approx 0,178
P(X = 16) approx 4845 times 0,003323 times 0,0081 approx 0,131
P(X = 17) approx 1140 times 0,002326 times 0,027 approx 0,071
P(X = 18) approx 190 times 0,001628 times 0,09 approx 0,028
P(X = 19) approx 20 times 0,001140 times 0,3 approx 0,007
P(X = 20) approx 1 times 0,000798 times 1 approx 0,001

Passo 8

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 15) $:
P(X >= 15)

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 15 das 20 sementes germinem é de aproximadamente 41,6%.

Exercícios relacionados