A probabilidade de uma semente germinar é de 0,7. Se forem plantadas 20 sementes, qual a probabilidade de que pelo menos 15 sementes germinem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de uma semente germinar, que é 0,7, ou seja, 70%. A gente plantou 20 sementes e queremos saber qual a chance de pelo menos 15 delas germinarem. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, sabendo a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos:
- Um número fixo de tentativas (no caso, 20 sementes).
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (germinar) ou fracasso (não germinar).
- A probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa (0,7).
- As tentativas são independentes entre si.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (20 sementes).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (15, 16, 17, 18, 19 ou 20).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,7).
Passo 3
Como a gente quer a probabilidade de pelo menos 15 sementes germinarem, precisamos calcular a probabilidade de exatamente 15, 16, 17, 18, 19 e 20 sementes germinarem e somar todas essas probabilidades.
Então, vamos calcular $ P(X \geq 15) $ que é:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial.
Para $ P(X = 15) $:
Fazendo o mesmo para $ X = 16, 17, 18, 19, 20 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada um desses termos. As combinações $ \binom{20}{k} $ representam quantas maneiras diferentes podemos escolher $ k $ sucessos em 20 tentativas.
Por exemplo, $ \binom{20}{15} $ é o número de maneiras de escolher 15 sementes que vão germinar entre as 20 plantadas.
Vamos calcular cada uma:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
Passo 8
Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 15) $:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 15 das 20 sementes germinem é de aproximadamente 41,6%.