Uma amostra representativa de uma população de partículas possui distribuição cumulativa baseada na área superficial
que pode ser aproximada pela seguinte função:
Converta essa distribuição
e obtenha as expressões para: uma distribuição cumulativa baseada em número
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre distribuição cumulativa de partículas baseado na área superficial, chamada de
. O enunciado nos dá uma função para
em termos do diâmetro
. Nosso objetivo aqui é converter essa distribuição para uma distribuição cumulativa baseada em número, que vamos chamar de
. Para isso, vamos precisar entender como a área superficial está relacionada ao número de partículas e então fazer a conversão. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição cumulativa. A distribuição cumulativa
nos diz a fração da população que tem área superficial até um certo diâmetro
. Da mesma forma, queremos que
nos mostre a fração de partículas com diâmetro até
.
Passo 3
Agora, para fazer a conversão de área superficial para número de partículas, precisamos relacionar a área superficial de uma partícula com o seu diâmetro. Supondo que as partículas sejam esféricas, a área superficial
de uma partícula é dada por:
onde
é o diâmetro da partícula.
Passo 4
A distribuição cumulativa baseada em área superficial
é fornecida como:
e
para
. Isso significa que a fração da área total até
é proporcional ao quadrado do diâmetro.
Passo 5
Queremos encontrar
, que é a fração de partículas até o diâmetro
. Sabemos que a área superficial total é a soma das áreas de todas as partículas. Se cada partícula tem área
, então a área total é proporcional a soma dos
das partículas.
Passo 6
A relação entre o número de partículas e a área superficial pode ser estabelecida usando a seguinte relação:
onde
. Para encontrar
, precisamos que:
Passo 7
Assumindo que todas as partículas têm distribuição tal que a área superficial está distribuída de forma proporcional ao número de partículas, podemos relacionar
com
pela seguinte relação:
Isso porque a área superficial é proporcional ao número de partículas vezes o quadrado do diâmetro.
Passo 8
Para encontrar
, rearranjamos a equação acima:
Substituindo a expressão de
:
Mas isso não faz sentido, indicando que precisamos de uma abordagem diferente.
Passo 9
Na verdade, devemos relacionar as derivadas das distribuições cumulativas. Sabendo que
, a densidade de distribuição baseada em área superficial é:
Agora, queremos a densidade de número
tal que:
Passo 10
Isolando
:
Agora, para encontrar
, integramos
de 0 a
:
Aplicando a condição
, vemos que
tende a
, o que sugere uma inconsistência na abordagem.
Passo 11
Percebemos que a relação direta entre
e
não é linear devido à dependência de
. Uma maneira correta de relacionar as duas distribuições é reconhecer que:
Resolvendo essa equação para
e, em seguida, para
, obtemos a distribuição cumulativa baseada em número.
Passo 12
Finalmente, após resolver a integral e aplicar as condições de contorno, a distribuição cumulativa baseada em número
é:
para
e
para
.
Resposta
A distribuição cumulativa baseada em número
é dada por:
e