Uma amostra de solo tem massa de 123,2 \mathrm{~g} e volume de 62,3 \mathrm{~cm}^{3} no estado natural. Sua massa seca é de 118,2 \mathrm{~g}. O peso específico dos grãos sólidos é de 26,7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a umidade, o índice de vazios, a porosidade e o grau de saturação desta amostra.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • Massa no estado natural (massa úmida): M = 123{,}2\\ \mathrm{g}.
  • Massa seca (massa dos sólidos): M_s = 118{,}2\\ \mathrm{g}.
  • Volume total da amostra: V = 62{,}3\\ \mathrm{cm}^3.
  • Peso específico dos grãos sólidos: \gamma_s = 26{,}7\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
O enunciado pede:
  • A umidade (gravimétrica) w.
  • O índice de vazios (razão vazios/sólidos) e.
  • A porosidade n.
  • O grau de saturação S_r.
Observações úteis que vou usar sem pedir nada: densidade da água \rho_w = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e aceleração da gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Vou converter unidades quando necessário para ficar consistente.

Passo 2

Calcular a massa de água e a umidade gravimétrica w.
Definição e ideia: a massa de água M_w é a diferença entre massa úmida e massa seca. A umidade gravimétrica w é a razão entre massa de água e massa seca:
M_w = M - M_s, \qquad w = \frac{M_w}{M_s}.
Cálculo (converter massas para a mesma unidade não é estritamente necessário aqui porque ambas estão em gramas):
M_w = 123{,}2 - 118{,}2 = 5{,}0\\ \mathrm{g}.
w = \frac{5{,}0}{118{,}2} \approx 0{,}04229\\ (\text{adimensional}) \approx 4{,}23\%.
Explicação extra: w normalmente é expresso em percentual; se for necessário em fração usa-se 0{,}04229.

Passo 3

Determinar a densidade (massa específica) dos grãos sólidos \rho_s a partir do peso específico \gamma_s.
Relação entre peso específico e densidade:
\gamma_s = \rho_s\, g \quad\Rightarrow\quad \rho_s = \frac{\gamma_s}{g}.
Converter unidades: \gamma_s = 26{,}7\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 = 26700\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3. Então
\rho_s = \frac{26700}{9{,}81}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \approx 2721{,}7\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Comentário: em geotecnia é comum ver \rho_s perto de 2600\!-\!2750\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 para minerais silicosos; o valor calculado está nesse intervalo.

Passo 4

Calcular o volume dos sólidos V_s.
Fórmula e ideia: o volume dos sólidos é a massa seca dividida pela densidade dos sólidos. Atenção às unidades: converter M_s para kg e o resultado dará V_s em \mathrm{m}^3; depois converto para \mathrm{cm}^3 para comparar com V.
V_s = \frac{M_s}{\rho_s}.
Cálculo:
M_s = 118{,}2\\ \mathrm{g} = 0{,}1182\\ \mathrm{kg}.
V_s = \frac{0{,}1182}{2721{,}7}\\ \mathrm{m}^3 \approx 4{,}3449\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Converter para \mathrm{cm}^3 ( 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3):
V_s \approx 4{,}3449\times 10^{-5}\times 10^{6} = 43{,}449\\ \mathrm{cm}^3.
Explicação didática: \rho_s é “quantos kg ocupam 1,m^3” dos grãos; então dividir massa (kg) por \rho_s dá o volume ocupado pelos sólidos.

Passo 5

Calcular o volume de vazios V_v (espaço entre os grãos) e conferir conservação de volume.
Definição:
V_v = V - V_s,
onde V e V_s devem estar na mesma unidade. Usei V em \mathrm{cm}^3.
Cálculo:
V_v = 62{,}3 - 43{,}449 = 18{,}851\\ \mathrm{cm}^3.
Verificação rápida: V_s + V_v = 43{,}449 + 18{,}851 = 62{,}300\\ \mathrm{cm}^3, que é exatamente o volume total dado (diferenças de arredondamento negligenciáveis). Isso indica consistência.

Passo 6

Calcular o índice de vazios e.
Definição e ideia: o índice de vazios e (ou razão vazios/sólidos) é a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e = \frac{V_v}{V_s}.
Cálculo (usando os volumes em \mathrm{cm}^3, unidade cancela):
e = \frac{18{,}851}{43{,}449} \approx 0{,}4339 \approx 0{,}434.
Interpretação prática: e é adimensional; quanto maior, mais “vazio” é o solo em relação ao volume sólido.

Passo 7

Calcular a porosidade n.
Definição: porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n = \frac{V_v}{V}.
Cálculo:
n = \frac{18{,}851}{62{,}3} \approx 0{,}3025 \approx 30{,}25\%.
Comentário: costuma-se apresentar n em porcentagem; aqui cerca de 30{,}3\% do volume da amostra é poro.

Passo 8

Calcular o grau de saturação S_r.
Definição e ideia: o grau de saturação S_r é a fração do volume de vazios que está preenchida por água:
S_r = \frac{V_w}{V_v},
onde V_w é o volume de água presente.
Determinando V_w: a massa de água M_w já foi obtida ( 5{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}005\\ \mathrm{kg}). A massa/volume de água usa \rho_w = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, então
V_w = \frac{M_w}{\rho_w} = \frac{0{,}005}{1000}\\ \mathrm{m}^3 = 5{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
Converter para \mathrm{cm}^3 ( \times 10^{6}):
V_w = 5{,}0\\ \mathrm{cm}^3.
Agora
S_r = \frac{V_w}{V_v} = \frac{5{,}0}{18{,}851} \approx 0{,}2654 \approx 26{,}54\%.
Interpretação: a amostra está apenas cerca de 26{,}5\% saturada — ou seja, a maior parte dos vazios contém ar.

Resposta

w = 4{,}23\%
e = 0{,}434
n = 30{,}25\%
S_r = 26{,}54\%

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