Uma amostra de tamanho 25 foi retirada de uma população com o objetivo de estimar a sua média e forneceu os valores barX=50 e s=10. Qual o intervalo de 98 % de confiança para a média desta população?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Estatística onde tiramos uma amostra de 25 pessoas de uma população para estimar a média dessa população. A média da amostra foi barX=50 e o desvio padrão da amostra foi s=10. A pergunta é: qual é o intervalo de confiança de 98% para a média dessa população?
Para resolver isso, vamos usar o Intervalo de Confiança para a Média. Isso ajuda a gente a ter uma ideia de onde a média verdadeira da população está, baseando-se nos dados da amostra. Vamos precisar usar a distribuição t de Student porque a amostra é pequena (menor que 30) e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual fórmula vamos usar. Para calcular o intervalo de confiança quando usamos a distribuição t, a fórmula é:
barX pm talpha/2 cdot sraizn
Aqui:
  • barX é a média da amostra.
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado.
  • s é o desvio padrão da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão da média, que é a parte sraizn. Isso nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população.
Erro Padrão = sraizn = 10raiz25 = 105 = 2 ã

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2. Como queremos um intervalo de confiança de 98%, o nível de significância alpha é 1 - 0,98 = 0,02. Então, alpha/2 = 0,01.
Como a amostra tem n=25, os graus de liberdade são df = n - 1 = 24. Consultando a tabela t de Student ou usando uma calculadora, encontramos que:
t0,01 approx 2,492

Passo 5

Com o valor talpha/2 e o erro padrão calculados, vamos montar o intervalo de confiança:
50 pm 2,492 cdot 2
Isso fica:
50 pm 4,984

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 98% para a média da população é de aproximadamente [45,016, 54,984].

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