Um fornecedor alega que, pelo menos 95 % do equipamento por ele fornecido a uma fábrica estão de acordo com as especificações. Uma amostra de 200 peças do equipamanto acusou 18 defeituosas. Teste a afirmação do fornecedor ao nível de significância de 3 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fornecedor que diz que pelo menos 95% dos equipamentos que ele entrega para uma fábrica estão dentro das especificações. Mas, pra testar essa afirmação, coletaram uma amostra de 200 peças e acharam que 18 delas estavam defeituosas. Nosso objetivo aqui é verificar se a afirmação do fornecedor é verdadeira usando um nível de significância de 3%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “nível de significância de 3%”. Isso quer dizer que estamos dispostos a aceitar uma chance de 3% de cometer um erro ao rejeitar a afirmação do fornecedor quando ela é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção real de equipamentos conformes é pelo menos 95%, ou seja, $ p \geq 0,95 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção real de equipamentos conformes é menor que 95%, ou seja, $ p < 0,95 $.
Estamos testando se a proporção é menor do que o que o fornecedor afirma.

Passo 4

Vamos calcular a proporção de defeituosas na amostra. Foram 18 defeituosas em 200 peças, então:
p = 18200 = 0,09
A proporção de conformes na amostra é $ 1 - 0,09 = 0,91 $ ou 91%.

Passo 5

Para testar a hipóteses, usamos o teste z para proporções. A fórmula para o cálculo do valor de z é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção observada (0,91),
  • $ p_0 $ é a proporção hipotética (0,95),
  • $ n $ é o tamanho da amostra (200).
Vamos calcular:
p

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 3%. Como nosso teste é unilateral (queremos saber se é menor), vamos achar o valor z que corresponde a 3% na cauda esquerda da distribuição normal.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor z crítico é aproximadamente -1,88.

Passo 7

Comparamos o valor z calculado com o valor crítico:
  • Nosso z calculado é -2,597
  • O valor crítico é -1,88
Como -2,597 < -1,88, estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula de que pelo menos 95% dos equipamentos estão de acordo com as especificações. Portanto, há evidências suficientes para afirmar, ao nível de significância de 3%, que a proporção de equipamentos conformes fornecidos pelo fornecedor é menor que 95%.

Exercícios relacionados