Uma população tem um desvio padrão igual a 10 e média desconhecida. Uma amostra de tamanho n=100 é retirada e fornece uma média barX=50. Qual o intervalo de 97 % de confiança para a média desta população?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma situação de estatística onde queremos descobrir o intervalo de confiança para a média de uma população. Sabemos que o desvio padrão da população é 10, tiramos uma amostra de tamanho n = 100 e a média dessa amostra é barX = 50. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de confiança de 97% para a média da população. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança, que nesse caso é de 97%. Para calcular esse intervalo, usamos a fórmula:
barX pm Z times sigmaraizn
Aqui, barX é a média da amostra, Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado, sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão, que é sigmaraizn. Com sigma = 10 e n = 100:
10raiz100 = 1010 = 1
Então, o erro padrão é 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de Z que corresponde a um nível de confiança de 97%. Isso significa que a área sob a curva normal será de 97%, deixando 3% nas duas extremidades, ou 1,5% de cada lado. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que:
Z approx 2,17

Passo 5

Com todos os valores, podemos montar o intervalo de confiança:
50 pm 2,17 times 1
Isso resulta em:
50 - 2,17 = 47,83
50 + 2,17 = 52,17

Resposta

O intervalo de confiança de 97% para a média da população é de 47,83 a 52,17.

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