A seguinte amostra 9,8,12,7,9,6,11,6,10,9 foi extraída de uma população normal. Construir um intervalo de confiança para a média com nível de significância de 1 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma amostra de valores: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9. A gente precisa construir um intervalo de confiança para a média dessa população, com um nível de significância de 1%. Isso significa que queremos ter 99% de confiança de que o intervalo que vamos calcular contém a média real da população. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que a gente não conhece o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média ( barx) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Então:
barx = 9 + 8 + 12 + 7 + 9 + 6 + 11 + 6 + 10 + 910 = 8710 = 8,7

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra ( s). O desvio padrão mede o quanto os valores se dispersam em torno da média. A fórmula é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(9 - 8,7)^2 &= 0,09 (8 - 8,7)^2 &= 0,49 (12 - 8,7)^2 &= 10,89 (7 - 8,7)^2 &= 2,89 (9 - 8,7)^2 &= 0,09 (6 - 8,7)^2 &= 7,29 (11 - 8,7)^2 &= 5,29 (6 - 8,7)^2 &= 7,29 (10 - 8,7)^2 &= 1,69 (9 - 8,7)^2 &= 0,09
Somando tudo:
0,09 + 0,49 + 10,89 + 2,89 + 0,09 + 7,29 + 5,29 + 7,29 + 1,69 + 0,09 = 35,10
Então,
s = raiz35,1010 - 1 = raiz35,109 approx raiz3,90 approx 1,97

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 99%. Como a confiança é de 99%, o nível de significância ( alpha) é 1% ou 0,01. Como a distribuição t é simétrica, dividimos alpha por 2: 0,005 para cada lado.
O número de graus de liberdade ( df) é n - 1 = 10 - 1 = 9. Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos que t0,005, 9 approx 3,250.

Passo 5

Com todos os valores em mãos, podemos montar o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm talpha/2, df times sraizn
Substituindo os valores:
8,7 pm 3,250 times 1,97raiz10
Primeiro, calculamos sraizn:
1,97raiz10 approx 1,973,162 approx 0,623
Agora, multiplicamos pelo valor crítico t:
3,250 times 0,623 approx 2,028
Então, o intervalo fica:
8,7 pm 2,028
Isso dá:
8,7 - 2,028 = 6,672 8,7 + 2,028 = 10,728

Resposta

O intervalo de confiança para a média, com nível de confiança de 99%, é aproximadamente de 6,67 a 10,73.

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