Uma amostra do teor de Zn em ppm do dedo médio de 400 aves de corte receberam uma dieta à base de Zn na ração, e apresentou média de 700ppm e variância de 400 \mathrm{ppm}^{2}. Em um grupo controle, aquele que não recebeu Zn na ração, contendo também 400 aves obteve-se médio de 600 ppm e variância 500 \mathrm{ppm}^{2}. Construir o intervalo de confiança a 95 \% para média dos dois grupos. Com base nos resultado verificar se a dieta de Zn é capaz de aumentar o teor médio de Zn na constituição química das aves.

Passo 1

O enunciado nos dá dois grupos independentes de aves, cada um com n=400. No grupo de aves que recebeu Zn na ração, a média amostral do teor de Zn foi \bar x_1 = 700 ppm e a variância amostral s_1^2 = 400 ppm ^2. No grupo controle, \bar x_2 = 600 ppm e s_2^2 = 500 ppm ^2. Queremos construir intervalos de confiança de 95\% para as médias verdadeiras \mu_1 e \mu_2 e, com isso, verificar se a dieta com Zn eleva de fato o teor médio de Zn nas aves. Como cada amostra é grande, usamos a aproximação pela distribuição normal e a fórmula
\text{IC}_{95\%}:\;\bar x \pm z_{0,025}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
com z_{0,025}=1,96.

Passo 2

Para o grupo com Zn na ração calculamos o desvio padrão amostral
s_1 = \sqrt{400} = 20\;\text{ppm},
a margem de erro
E_1 = 1{,}96\;\frac{s_1}{\sqrt{n}} = 1{,}96\;\frac{20}{\sqrt{400}} = 1{,}96\cdot1 = 1{,}96
e, portanto, o intervalo de confiança
\bigl[\,700 - 1{,}96,\;700 + 1{,}96\bigr] = [698{,}04,\;701{,}96]\;\text{ppm}.

Passo 3

Para o grupo controle temos
s_2 = \sqrt{500} \approx 22{,}36\;\text{ppm},
E_2 = 1{,}96\;\frac{s_2}{\sqrt{400}} = 1{,}96\;\frac{22{,}36}{20} \approx 1{,}96\cdot1{,}118 = 2{,}19
e o intervalo de confiança
\bigl[\,600 - 2{,}19,\;600 + 2{,}19\bigr] = [597{,}81,\;602{,}19]\;\text{ppm}.

Passo 4

Comparando os intervalos
[698{,}04,\;701{,}96]\quad\text{e}\quad[597{,}81,\;602{,}19],
vemos que não há sobreposição e que todo o intervalo do grupo com Zn está bem acima do intervalo do controle. Isso indica, com 95\% de confiança, que a média de teor de Zn é maior quando a dieta contém Zn.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o grupo com Zn na ração é
[698{,}04,\;701{,}96]\;\text{ppm},
e para o grupo controle é
[597{,}81,\;602{,}19]\;\text{ppm}.
Como esses intervalos não se sobrepõem e o primeiro está totalmente acima do segundo, concluímos que a dieta com Zn aumenta o teor médio de Zn nas aves.

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