Em um teste, as probabilidades dos erros tipo I e II são inversamente proporcionais. Se reduzirmos em demasia a probabilidade do erro tipo I ( \alpha ), a probabilidade do erro tipo II ( \beta ) aumentará. Como podemos, fixado o valor de \alpha, reduzir a probabilidade de cometermos o erro tipo II ( \beta )?

Passo 1

O enunciado fala de um teste de hipóteses com nível de significância \alpha (probabilidade de erro tipo I) e probabilidade de erro tipo II igual a \beta. Sabe-se que, de modo geral, \alpha e \beta são inversamente proporcionais: diminuir uma tende a aumentar a outra. A pergunta é: mantido fixo o valor de \alpha, o que podemos fazer para reduzir \beta?

Passo 2

Vamos ver um caso clássico de teste sobre a média de uma população normal com variância conhecida. Seja H_0:\mu=\mu_0\) e \(H_1:\mu=\mu_1>\mu_0\). Tomamos uma amostra de tamanho \(n\) e o estimador da média amostral \(\bar X\) satisfaz \[\bar X \sim \begin{cases} N\bigl(\mu_0,\frac{\sigma}{\sqrt n}\bigr), & \text{se }H_0\text{ for verdadeira},\\\ N\bigl(\mu_1,\frac{\sigma}{\sqrt n}\bigr), & \text{se }H_1\text{ for verdadeira}. \end{cases}
Para ter nível de significância \alpha\] num teste unilateral a direita, o limiar crítico \(c é
c = \mu_0 + z_{1-\alpha}\,\frac{\sigma}{\sqrt n},
onde z_{1-\alpha} é o quantil da Normal padrão.

Passo 3

Com esse limiar, a probabilidade de erro tipo II é
\beta \;=\; P\bigl(\bar X \le c \mid H_1\bigr) \;=\; \Phi\!\Bigl(\frac{c-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}\Bigr) \;=\; \Phi\!\Bigl(z_{1-\alpha} - \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\Bigr).
Note que, para \alpha fixo, o único jeito de fazer \beta diminuir é tornar grande o termo \dfrac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}, pois então o argumento de \Phi fica menor e, consequentemente, \beta=\Phi(\cdot) cai.

Passo 4

Dessa análise concluímos que, mantendo \alpha fixo, podemos reduzir \beta aumentando qualquer um desses fatores:
  1. O tamanho da amostra n. Quanto maior n, menor é o desvio padrão \sigma/\sqrt n da média amostral e menor \beta.
  2. A diferença de efeito \mu_1-\mu_0. Se o verdadeiro valor de \mu sob H_1 estiver mais afastado de \mu_0, o teste tende a detectar mais facilmente essa diferença, reduzindo \beta.
  3. A precisão do experimento, i.e. diminuir \sigma. Menos variabilidade dos dados implica menor sobreposição entre as distribuições sob H_0 e H_1, o que reduz \beta.
  4. Escolher um teste mais direcionado, por exemplo passar de um teste bicaudal para um teste unicaudal quando a direção da diferença for conhecida, o que efetivamente aumenta o poder e diminui \beta.

Resposta

Mantendo \alpha fixo, diminui-se \beta aumentando o tamanho da amostra n, aumentando o efeito \mu_1-\mu_0 ou reduzindo a variância \sigma^2. Também pode-se optar por um teste unilateral em vez de bilateral quando apropriado.

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