Suponha que
é uma população tal que
, em que
e
são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu os valores
e
.
Determinar um IC com
para
.
Determinar um IC com
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma população que segue uma distribuição normal, representada por $ X \sim N(\mu, \sigma^{2}) $, onde tanto a média $ \mu $ quanto a variância $ \sigma^{2} $ são desconhecidas. Recebemos uma amostra de tamanho 15 com a soma dos valores $ \sum_{i=1}^{15} X_{i} = 8,7 $ e a soma dos quadrados $ \sum_{i=1}^{15} X_{i}^{2} = 27,3 $. Nosso objetivo é determinar um intervalo de confiança de 95% para a média $ \mu $. Para isso, vamos precisar calcular a média amostral, a variância amostral e usar a distribuição t de Student, já que a variância da população é desconhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral $ \bar{X} $. A média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a variância amostral $ S^{2} $. A fórmula para a variância amostral é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Com a variância amostral, podemos encontrar o desvio padrão amostral $ S $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média $ SE $, que é o desvio padrão amostral dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
Passo 6
Como a variância da população é desconhecida e a amostra é pequena (n < 30), usamos a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. Para um nível de confiança de 95% e 14 graus de liberdade (n - 1 = 14), o valor crítico $ t_{\alpha/2} $ é aproximadamente 2,145 (consultando a tabela t).
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para $ \mu $ é aproximadamente $ (-0,118, 1,278) $.