Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a satisfazer às especificações de qualidade de ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir:
Fornecedor Obedece
Sim Não
1 22 8
2 25 5
3 30 10
Suponha que iremos sortear uma dessas amostras para a realização de exames mais detalhados. Seja A o evento que a amostra seja proveniente do fornecedor 1 e o evento que a amostra atende às epecificações.
a. Os eventos A e B são independentes?
b. Determine
Suponha agora que iremos sortear duas dessas amostras sem reposição.
c. Qual a probabilidade de que ambas obedeçam as especificações?
d. Qual a probabilidade de que a primeira ou a segunda obedeçam as especificações?

Passo 1

Temos 100 amostras de três fornecedores, com as seguintes contagens:
Fornecedor 1: 22 obedecem e 8 não
Fornecedor 2: 25 obedecem e 5 não
Fornecedor 3: 30 obedecem e 10 não
Logo, total de amostras do fornecedor 1 é 30, e total que obedecem as especificações é
22 + 25 + 30 = 77
Conteúdos necessários: definição de independência de eventos, probabilidade condicional e probabilidade sem reposição.

Passo 2

Calculemos as probabilidades básicas:
P(A)=30100, P(B)=77100, P(Acap B)=22100
Eventos independentes exigem P(Acap B)=P(A),P(B). Mas
P(A),P(B)=30100cdot77100=231010000=0,231
enquanto P(Acap B)=0,22. Como 0,22neq0,231, A e B não são independentes.

Passo 3

A probabilidade condicional é
P(Bmid A)=P(Acap B)P(A) =tfrac22100tfrac30100 =2230 =1115approx0,7333

Passo 4

Ao sortear duas amostras sem reposição, a probabilidade de ambas obedecerem é
P(2 obedecem) =77100cdot7699 =77cdot76100cdot99

Passo 5

A probabilidade de que a primeira ou a segunda (ou ambas) obedeçam é o complementar de nenhuma obedecer:
P(>=1 obedece) =1 - P(nenhuma obedece) =1 - 23100cdot2299,
onde 23 é o total que não obedecem.

Resposta

(a) Não são independentes.
(b) P(Bmid A)=1115.
(c) 77100cdot7699
(d) 1 - 23100cdot2299

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