Uma moeda de duas faces simétricas é arremessada duas vezes. Seja A a proposição de que o resultado do primeiro lançamento foi cara e B a proposição de que em ambos os lançamentos ocorreu o mesmo resultado.
a. Determine P(A), P(B), P(A ou B ) e P(A e B).
b. A e B são independentes? São mutuamente exclusivos?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda justa duas vezes. Definimos o espaço amostral equiprovável
Omega = HH,;HT,;TH,;TT,
onde cada resultado tem probabilidade tfrac14. A é o evento “primeiro lançamento deu cara” e B é o evento “os dois lançamentos foram iguais”. Vamos usar a definição
P(E)=|E||Omega|,
além das noções de independência (verificar se P(Acap B)=P(A),P(B)) e de exclusão mútua ( P(Acap B)=0).

Passo 2

Determinar P(A).
O evento A=HH,HT tem |A|=2, logo
P(A)=24=12

Passo 3

Determinar P(B).
O evento B=HH,TT tem |B|=2, logo
P(B)=24=12

Passo 4

Determinar P(Acap B).
A interseção Acap B=HH tem |Acap B|=1, então
P(Acap B)=14

Passo 5

Determinar P(Acup B).
Usando a fórmula da união,
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B) =12+12-14 =34

Passo 6

Verificar independência.
Calculamos P(A),P(B)=tfrac12cdottfrac12=tfrac14 que coincide com P(Acap B)=tfrac14. Portanto, A e B são independentes.

Passo 7

Verificar exclusão mútua.
Como P(Acap B)=tfrac14neq0, os eventos não são mutuamente exclusivos.

Resposta

P(A)=tfrac12,
P(B)=tfrac12,
P(Acup B)=tfrac34,
P(Acap B)=tfrac14
A e B são independentes, mas não são mutuamente exclusivos.

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