Amostras de espumas de três fornecedores são classificadas com relação a satisfazer ou não satisfazer as especificações. Os resultados de 126 amostras são resumidos a seguir:
Obedece
sim
Fornecedor 1 80 4
2 40 2
Faça denotar o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e faça denotar o evento em que uma amostra atende as especificações.
a) e são independentes?
b) e são independentes?

Passo 1

Temos duas amostras de fornecedores com o seguinte quadro de frequências (total de 126 amostras):
Fornecedor 1: 80 “sim” (atende) e 4 “não” (não atende) Rightarrow 84 amostras.
Fornecedor 2: 40 “sim” e 2 “não” Rightarrow 42 amostras.
Definimos o evento A = “amostra do fornecedor 1” e o evento B = “amostra atende as especificações”. Para testar independência, precisamos calcular P(A), P(B), P(Acap B), P(A^c) e P(A^ccap B) e comparar com produtos de marginais.

Passo 2

Calcular as probabilidades marginais e conjuntas:
P(A) = dfrac84126 = dfrac23.
P(B) = dfrac80+40126 = dfrac120126 = dfrac2021.
P(Acap B) = dfrac80126 = dfrac4063

Passo 3

Verificamos se
P(Acap B);=;P(A),P(B)
O lado direito é
P(A),P(B) =23cdot2021 =4063,
que coincide com P(Acap B)=40/63. Logo A e B são independentes.

Passo 4

Agora vamos a A^c (fornecedor 2):
P(A^c)=1-P(A)=1-tfrac23=tfrac13.
E
P(A^ccap B) =40126 =2063

Passo 5

Checamos
P(A^c),P(B) =13cdot2021 =2063,
que é justamente P(A^ccap B). Logo A^c e B são também independentes.

Resposta

a) Sim, A e B são independentes.
b) Sim, A^c e B são independentes.

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