Calcule as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=1x y^2-x^2 y ; fx(x, y), fy(x, y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais fx e fy de
f(x,y)=1x y^2-x^2y
O conteúdo é derivada parcial de função composta: como f(u)=u^-1 com u=g(x,y), vamos usar a regra da cadeia e tratar, em cada derivada, a outra variável como constante.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=x y^2-x^2y
Derivando g em relação a x e a y, mantendo a outra variável fixa, obtemos
gx(x,y)=partialpartial x(x y^2-x^2y)=y^2-2xy,
gy(x,y)=partialpartial y(x y^2-x^2y)=2xy - x^2

Passo 3

Para fx, aplicamos a regra da cadeia a f(u)=u^-1:
fx(x,y)=ddxl[g(x,y)^-1r] =-,gx(x,y)l[g(x,y)r]^2 =-,y^2-2xyl(xy^2-x^2yr)^2 =2xy - y^2l(xy^2-x^2yr)^2

Passo 4

Analogamente, para fy temos
fy(x,y) =-,gy(x,y)l[g(x,y)r]^2 =-,2xy - x^2l(xy^2-x^2yr)^2 =x^2-2xyl(xy^2-x^2yr)^2

Resposta

fx(x,y)=2xy - y^2l(xy^2-x^2yr)^2, fy(x,y)=x^2-2xyl(xy^2-x^2yr)^2

Exercícios relacionados