Os amperímetros produzidos por um fabricante são vendidos com a especificação de que o desvio padrão das leituras não seja maior do que 0,2 amperes. Um dos amperímetros foi usado para realizar 10 leituras independentes num circuito de prova com corrente constante. Se a variância amostral dessas 10 medições é 0,065, e é razoável supor que as leituras sejam normais, Os resultados sugerem que o amperímetro usado não satisfaz as especificações do mercado? [Sugestão: Encontre a probabilidade aproximada de que a variância amostral seja maior do que 0,065 se a verdadeira variância é 0,04.]
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui! Estamos falando sobre estatística, especificamente sobre variância e testes de hipótese. O exercício nos diz que um ammeter (amperímetro) deve ter um desvio padrão das leituras de, no máximo, 0,2 amperes. Foi feito 10 testes independentes com esse ammeter, e a variância das medições foi de 0,065. Precisamos verificar se esse ammeter realmente atende às especificações do fabricante.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula $ H_0 $ será que a variância verdadeira $ \sigma^2 $ é igual a $ 0,04 $ (pois $ 0,2^2 = 0,04 $). A hipótese alternativa $ H_1 $ é que a variância verdadeira é maior que $ 0,04 $. Então:
Passo 3
Como queremos saber se a variância observada $ s^2 = 0,065 $ é significativamente maior que a especificada, vamos usar o teste qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula para o teste é:
Onde:
- $ n $ é o número de observações (neste caso, 10),
- $ s^2 $ é a variância amostral,
- $ \sigma_0^2 $ é a variância especificada na hipótese nula.
Para $ n = 10 $, os graus de liberdade serão $ df = n - 1 = 9 $.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste $ \chi^2 $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de obter um valor de $ \chi^2 $ maior que $ 14,625 $ com 9 graus de liberdade. Essa probabilidade nos diz a chance de observar uma variância amostral tão alta ou maior se a variância verdadeira for realmente $ 0,04 $.
Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora, vemos que:
Isso significa que há cerca de 5% de chance de a variância amostral ser maior que $ 0,065 $ se a verdadeira variância for $ 0,04 $.
Passo 6
Finalmente, com um nível de significância comum de 5%, se a probabilidade é igual ou menor que esse valor, rejeitamos a hipótese nula. Como $ P \approx 0,05 $, isso está no limite. Portanto, podemos concluir que há evidências suficientes para sugerir que o ammeter não atende mais às especificações do fabricante.
Resposta
Sim, os resultados sugerem que o ammeter utilizado não satisfaz as especificações do mercado, já que a probabilidade de observar uma variância amostral de 0,065 ou maior é aproximadamente 5%, indicando que a variância verdadeira pode ser maior que 0,04.