Considere T1 e T2 dois testes diagnósticos para deteç̧ão de certo vírus. Ambos os testes tem probabilidade de
de resultar positivo quando aplicados em um paciente portador do vírus e
de resultar positivo quando aplicados em um paciente não portador do vírus. Suponha que, dado o real estado de saúde do indivíduo, os testes tenham resultados independentes e que haja
de indivíduos portadores deste vírus. Um indivíduo é selecionado ao acaso desta população. Qual a probabilidade deste indivíduo ser portador do vírus sabendo que ambos os testes deram resultado positivo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois testes, T1 e T2, que detectam um vírus. A gente sabe que:
- Se a pessoa tem o vírus, cada teste tem 90% de chance de dar positivo.
- Se a pessoa não tem o vírus, cada teste tem 5% de chance de dar positivo.
- Os testes são independentes, ou seja, o resultado de um não afeta o outro.
- Só 5% da população realmente tem o vírus.
O que queremos descobrir é: se dois testes deram positivo, qual a probabilidade dessa pessoa realmente ter o vírus?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Bayes, que ajuda a calcular probabilidades condicionais. A fórmula é:
Aqui, queremos encontrar $ P(Vírus|T1+ e T2+) $, ou seja, a probabilidade de ter o vírus dado que os dois testes foram positivos.
Passo 3
Vamos identificar cada parte da fórmula:
- $ A $ é a pessoa ter o vírus.
- $ B $ é os dois testes serem positivos.
Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
- $ P(Vírus) = 5% = 0,05 $ (probabilidade de uma pessoa ter o vírus).
- $ P(T1+ e T2+|Vírus) $: como os testes são independentes, é $ 0,9 \times 0,9 = 0,81 $.
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ P(T1+ e T2+) $, que é a probabilidade de ambos os testes darem positivo, independentemente de a pessoa ter ou não o vírus. Podemos usar a regra da soma:
Já temos $ P(T1+ e T2+|Vírus) = 0,81 $ e $ P(Vírus) = 0,05 $.
Passo 6
Precisamos calcular $ P(T1+ e T2+|Não Vírus) $. Novamente, os testes são independentes, então:
E $ P(Não Vírus) = 1 - 0,05 = 0,95 $.
Passo 7
Agora substituímos na fórmula da soma:
Passo 8
Finalmente, voltamos ao Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade do indivíduo ser portador do vírus, dado que ambos os testes deram positivo, é de aproximadamente 94,4%.