Considere T1 e T2 dois testes diagnósticos para deteç̧ão de certo vírus. Ambos os testes tem probabilidade de 90 % de resultar positivo quando aplicados em um paciente portador do vírus e 5 % de resultar positivo quando aplicados em um paciente não portador do vírus. Suponha que, dado o real estado de saúde do indivíduo, os testes tenham resultados independentes e que haja 5 % de indivíduos portadores deste vírus. Um indivíduo é selecionado ao acaso desta população. Qual a probabilidade deste indivíduo ser portador do vírus sabendo que ambos os testes deram resultado positivo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois testes, T1 e T2, que detectam um vírus. A gente sabe que:
  • Se a pessoa tem o vírus, cada teste tem 90% de chance de dar positivo.
  • Se a pessoa não tem o vírus, cada teste tem 5% de chance de dar positivo.
  • Os testes são independentes, ou seja, o resultado de um não afeta o outro.
  • Só 5% da população realmente tem o vírus.
O que queremos descobrir é: se dois testes deram positivo, qual a probabilidade dessa pessoa realmente ter o vírus?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Bayes, que ajuda a calcular probabilidades condicionais. A fórmula é:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Aqui, queremos encontrar $ P(Vírus|T1+ e T2+) $, ou seja, a probabilidade de ter o vírus dado que os dois testes foram positivos.

Passo 3

Vamos identificar cada parte da fórmula:
  • $ A $ é a pessoa ter o vírus.
  • $ B $ é os dois testes serem positivos.
Então, temos:
A ííí

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. $ P(Vírus) = 5% = 0,05 $ (probabilidade de uma pessoa ter o vírus).
  2. $ P(T1+ e T2+|Vírus) $: como os testes são independentes, é $ 0,9 \times 0,9 = 0,81 $.

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ P(T1+ e T2+) $, que é a probabilidade de ambos os testes darem positivo, independentemente de a pessoa ter ou não o vírus. Podemos usar a regra da soma:
P(T1+ e T2+) ííãíãí
Já temos $ P(T1+ e T2+|Vírus) = 0,81 $ e $ P(Vírus) = 0,05 $.

Passo 6

Precisamos calcular $ P(T1+ e T2+|Não Vírus) $. Novamente, os testes são independentes, então:
P(T1+ e T2+|Não Vírus) ãí
E $ P(Não Vírus) = 1 - 0,05 = 0,95 $.

Passo 7

Agora substituímos na fórmula da soma:
P(T1+ e T2+) = 0,81 times 0,05 + 0,0025 times 0,95 = 0,0405 + 0,002375 = 0,042875

Passo 8

Finalmente, voltamos ao Teorema de Bayes:
P(Vírus|T1+ e T2+) = 0,81 times 0,050,042875 = 0,04050,042875 approx 0,944 í

Resposta

A probabilidade do indivíduo ser portador do vírus, dado que ambos os testes deram positivo, é de aproximadamente 94,4%.

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