Num trabalho prévio concluiu-se que 65 % dos passageiros que entram num terminal de ônibus num bairro, têm como destino o centro da cidade. Esse valor tem sido utilizado pela alcaidia na tomada de decisões sobre políticas de transporte. Tendo surgido dúvidas sobre a actualidade daquele valor, realizou-se um inquérito naquele terminal. Dos 180 passageiros inqueridos, 105 indicaram o centro como destino. Com base nestes resultados, construa um intervalo de confiança de 90 % para a proporção de passageiros que entram no terminal, com destino ao centro. Verifique-se se os 65 % são consistentes com a realidade atual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos conta que, antes, 65% dos passageiros que entram no terminal de ônibus tinham como destino o centro da cidade. Mas agora, para ver se esse número ainda é válido, fizeram uma pesquisa com 180 passageiros e descobriram que 105 deles também têm o centro como destino. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 90% para a proporção atual de passageiros com destino ao centro e ver se os 65% ainda batem com a realidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de passageiros pesquisados (n): 180
  • Número de passageiros com destino ao centro (x): 105

Passo 3

Agora, precisamos calcular a proporção amostral (p̂), que é simplesmente o número de “sucessos” dividido pelo total:
p = xn = 105180 approx 0,5833
Então, a proporção amostral é aproximadamente 58,33%.

Passo 4

Como queremos um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico (z) correspondente a esse nível de confiança. Para 90%, o z-valor é aproximadamente 1,645. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e representa quantos desvios padrão precisamos considerar para capturar 90% dos dados.

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão (EP) da proporção, que nos dá uma ideia de quanta variabilidade podemos esperar na nossa estimativa:
EP = raizp(1 - p)n = raiz0,5833 times (1 - 0,5833)180
EP approx raiz0,5833 times 0,4167180
EP approx raiz0,2431180
EP approx raiz0,00135 approx 0,0367
Então, o erro padrão é aproximadamente 3,67%.

Passo 6

Agora, vamos calcular a margem de erro (ME) multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
ME = z times EP = 1,645 times 0,0367 approx 0,0603
Isso significa que nosso intervalo terá uma margem de erro de cerca de 6,03%.

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à proporção amostral:
IC = p pm ME
IC = 0,5833 pm 0,0603
IC approx (0,523, 0,643)
Convertendo para porcentagem, temos:
IC approx (52,3%, 64,3%)

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a proporção de passageiros com destino ao centro é de aproximadamente 52,3% a 64,3%. Como os 65% anteriores estão ligeiramente acima desse intervalo, podemos concluir que os 65% já não são mais totalmente consistentes com a realidade atual, sugerindo uma diminuição na proporção de passageiros com destino ao centro.

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