Um fabricante de chips de computador usa 3 diferentes fornecedores. Os chips dos fornecedores
e
são defeituosos com probabilidades 0,005; 0,001 e 0,01, respectivamente. As proporções de chips de
e C são 0,5; 0,1 e 0,4, respectivamente. Sabendo que um chip selecionado da produção desta fábrica é defeituoso, determine as probabilidades de que o chip seja fabricado pelos fornecedores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica de chips que utiliza três fornecedores diferentes, chamados
,
e
. Cada fornecedor tem uma certa probabilidade de produzir chips defeituosos:
com 0,005,
com 0,001 e
com 0,01. Além disso, cada fornecedor contribui com uma certa proporção da produção total:
com 50% (0,5),
com 10% (0,1) e
com 40% (0,4). A questão quer saber, dado que um chip selecionado é defeituoso, qual a probabilidade dele ter vindo de cada um desses fornecedores.
Para resolver isso, vamos usar o teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter probabilidades condicionais. Precisamos calcular a probabilidade de o chip ter vindo de
,
ou
, sabendo que ele é defeituoso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já temos:
- Probabilidade de um chip ser defeituoso dado que veio de
: - Probabilidade de um chip ser defeituoso dado que veio de
: - Probabilidade de um chip ser defeituoso dado que veio de
:
E as proporções de cada fornecedor na produção total:
Agora precisamos encontrar a probabilidade total de um chip ser defeituoso,
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a regra da probabilidade total, que soma as probabilidades de um chip ser defeituoso vindo de cada fornecedor multiplicadas pela proporção de cada fornecedor na produção:
Substituindo os valores:
Calculando:
Então, a probabilidade total de um chip ser defeituoso é 0,0066.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo de cada fornecedor. A fórmula do teorema de Bayes é:
Onde:
-
é a probabilidade de o chip ter vindo do fornecedor , dado que é defeituoso. -
é a probabilidade de o chip ser defeituoso dado que veio do fornecedor . -
é a proporção do fornecedor na produção total. -
já calculamos como 0,0066.
Primeiro, vamos calcular para o fornecedor
.
Passo 5
Calculando
:
Então, a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo do fornecedor
é aproximadamente 37,88%.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Portanto, a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo do fornecedor
é aproximadamente 1,52%.
Passo 7
Finalmente, calculando
:
Assim, a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo do fornecedor
é aproximadamente 60,61%.
Resposta
As probabilidades, dado que um chip é defeituoso, são aproximadamente:
- Fornecedor
: 37,88% - Fornecedor
: 1,52% - Fornecedor
: 60,61%