Um fabricante de chips de computador usa 3 diferentes fornecedores. Os chips dos fornecedores A, B e C são defeituosos com probabilidades 0,005; 0,001 e 0,01, respectivamente. As proporções de chips de A, B e C são 0,5; 0,1 e 0,4, respectivamente. Sabendo que um chip selecionado da produção desta fábrica é defeituoso, determine as probabilidades de que o chip seja fabricado pelos fornecedores A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica de chips que utiliza três fornecedores diferentes, chamados A, B e C. Cada fornecedor tem uma certa probabilidade de produzir chips defeituosos: A com 0,005, B com 0,001 e C com 0,01. Além disso, cada fornecedor contribui com uma certa proporção da produção total: A com 50% (0,5), B com 10% (0,1) e C com 40% (0,4). A questão quer saber, dado que um chip selecionado é defeituoso, qual a probabilidade dele ter vindo de cada um desses fornecedores.
Para resolver isso, vamos usar o teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter probabilidades condicionais. Precisamos calcular a probabilidade de o chip ter vindo de A, B ou C, sabendo que ele é defeituoso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já temos:
  • Probabilidade de um chip ser defeituoso dado que veio de A: P(D|A) = 0,005
  • Probabilidade de um chip ser defeituoso dado que veio de B: P(D|B) = 0,001
  • Probabilidade de um chip ser defeituoso dado que veio de C: P(D|C) = 0,01
E as proporções de cada fornecedor na produção total:
  • P(A) = 0,5
  • P(B) = 0,1
  • P(C) = 0,4
Agora precisamos encontrar a probabilidade total de um chip ser defeituoso, P(D).

Passo 3

Para encontrar P(D), usamos a regra da probabilidade total, que soma as probabilidades de um chip ser defeituoso vindo de cada fornecedor multiplicadas pela proporção de cada fornecedor na produção:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
Substituindo os valores:
P(D) = 0,005 cdot 0,5 + 0,001 cdot 0,1 + 0,01 cdot 0,4
Calculando:
P(D) = 0,0025 + 0,0001 + 0,004 = 0,0066
Então, a probabilidade total de um chip ser defeituoso é 0,0066.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo de cada fornecedor. A fórmula do teorema de Bayes é:
P(X|D) = P(D|X) cdot P(X)P(D)
Onde:
  • P(X|D) é a probabilidade de o chip ter vindo do fornecedor X, dado que é defeituoso.
  • P(D|X) é a probabilidade de o chip ser defeituoso dado que veio do fornecedor X.
  • P(X) é a proporção do fornecedor X na produção total.
  • P(D) já calculamos como 0,0066.
Primeiro, vamos calcular para o fornecedor A.

Passo 5

Calculando P(A|D):
P(A|D) = P(D|A) cdot P(A)P(D) = 0,005 cdot 0,50,0066 = 0,00250,0066 approx 0,3788
Então, a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo do fornecedor A é aproximadamente 37,88%.

Passo 6

Agora, vamos calcular P(B|D):
P(B|D) = P(D|B) cdot P(B)P(D) = 0,001 cdot 0,10,0066 = 0,00010,0066 approx 0,0152
Portanto, a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo do fornecedor B é aproximadamente 1,52%.

Passo 7

Finalmente, calculando P(C|D):
P(C|D) = P(D|C) cdot P(C)P(D) = 0,01 cdot 0,40,0066 = 0,0040,0066 approx 0,6061
Assim, a probabilidade de o chip defeituoso ter vindo do fornecedor C é aproximadamente 60,61%.

Resposta

As probabilidades, dado que um chip é defeituoso, são aproximadamente:
  • Fornecedor A: 37,88%
  • Fornecedor B: 1,52%
  • Fornecedor C: 60,61%

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