Um guarda-florestal, que estuda os efeitos da fertilização em certas florestas de pino numa região, esta interessado em estimar a média da área da base dos pinos. Ao estudar áreas das bases similares descobriu que tais mensuras (em polegadas quadradas) estão distribuídas normalmente com desvio padrão de 4 polegadas quadradas. Se o guarda-florestal toma uma amostra de 9 arvores
(a) encontre a probabilidade de que a média amostral se encontre a não mais de 2 polegadas quadradas da média populacional.
(b) Suponha que o guarda-florestal gostaria de que a média amostral estiver a não mais do que uma polegada quadrada da média populacional, com probabilidade de 0,90. Quantas arvores deve medir para ganhar esse grau de precisão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de estatística, mais especificamente sobre a distribuição da média amostral. O guarda-florestal quer estimar a média da área da base dos pinheiros. Sabemos que as áreas são distribuídas normalmente com desvio padrão de 4 polegadas quadradas. Vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as áreas são distribuídas normalmente com desvio padrão de 4 polegadas quadradas. Isso quer dizer que se a gente pegar muitas medidas da área da base dos pinheiros, elas vão seguir uma curva em forma de sino, onde a maioria das medidas está próxima da média, e as medidas mais distantes ficam menos frequentes. O desvio padrão (σ) de 4 nos indica o quanto as medidas costumam variar em relação à média.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a). Queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral (X̄) esteja a no máximo 2 polegadas quadradas da média populacional (μ). A amostra tem tamanho n = 9 árvores.
Para isso, usamos a distribuição da média amostral. Sabemos que quando a população é normal, a média amostral também é normal, com média μ e desvio padrão σ/√n. Então, o desvio padrão da média amostral é:
sigmaraizn = 4raiz9 = 43 approx 1,333

Passo 4

Queremos a probabilidade de que X̄ esteja entre μ - 2 e μ + 2. Isso é:
P(mu - 2 <= X̄ <= mu + 2)
Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar usando a distribuição normal padrão (Z). A fórmula para padronizar é:
Z = X̄ - musigma/raizn
Então, temos:
P(-21,333 <= Z <= 21,333) approx P(-1,5 <= Z <= 1,5)

Passo 5

Agora, vamos usar uma tabela da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar essa probabilidade. Sabemos que:
P(-1,5 <= Z <= 1,5) = 2 times P(Z <= 1,5) - 1
Consultando a tabela, encontramos que:
P(Z <= 1,5) approx 0,9332
Portanto:
2 times 0,9332 - 1 = 0,8664

Passo 6

Então, a probabilidade de que a média amostral esteja a não mais de 2 polegadas quadradas da média populacional é de aproximadamente 86,6%.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). O guarda-florestal quer que a média amostral esteja a não mais do que 1 polegada quadrada da média populacional, com uma probabilidade de 90%. Precisamos encontrar o tamanho da amostra (n) necessário para isso.
Primeiro, vamos identificar o z correspondente a uma confiança de 90%. Olhando na tabela da distribuição normal, vemos que para 90%, o z crítico é aproximadamente 1,645.

Passo 8

Usamos a fórmula da margem de erro (E) para a média:
E = z times sigmaraizn
Queremos que E = 1, então:
1 = 1,645 times 4raizn

Passo 9

Resolvendo para n:
raizn = 1,645 times 4 raizn = 6,58 n = (6,58)^2 n approx 43,3
Como o número de árvores precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, n = 44.

Resposta

(a) A probabilidade de que a média amostral esteja a não mais de 2 polegadas quadradas da média populacional é de aproximadamente 86,6%.
(b) Para que a média amostral esteja a não mais de 1 polegada quadrada da média populacional, com probabilidade de 90%, o guarda-florestal deve medir 44 árvores.

Exercícios relacionados