1. Quando ampliamos linearmente um mapa pelo triplo em suas medidas, em quanto estaremos ampliando sua área?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quando ampliamos linearmente um mapa pelo triplo em suas medidas, em quanto estaremos ampliando sua área?”
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • O fator de escala linear é 3.
  • A ampliação é aplicada às medidas lineares (comprimentos) do mapa em ambas as direções do plano.

Passo 2

Entendendo a ideia básica com um retângulo simples (intuição geométrica).
  • Considere um retângulo com lados de comprimentos a e b. A área original vale
\text{Área}_\text{orig} = a\cdot b.Á
  • Se ampliarmos linearmente todas as medidas pelo fator 3, os novos lados ficam 3a e 3b. A nova área vale
\text{Área}_\text{nova} = (3a)\cdot(3b).Á
  • Desenvolvendo,
\text{Área}_\text{nova} = 9\,a b = 9\cdot \text{Área}_\text{orig}.ÁÁ
Conclusão desta etapa: duplicar a escala linear por 3 multiplica a área por 9.

Passo 3

Explicação geral usando transformação linear (uma aula rápida sobre por que isso vale para qualquer figura).
  • Uma transformação linear que multiplica todas as distâncias por k é chamada homotetia de razão k. Em coordenadas, corresponde à multiplicação por uma matriz kI, onde I é a matriz identidade.
  • O fator pelo qual uma transformação linear altera áreas no plano é o valor absoluto do determinante da matriz que a representa. Para a matriz kI em 2 dimensões temos
\det(kI)=k^2\det(I)=k^2.
  • Portanto, uma homotetia de razão k multiplica qualquer área por k^2. No nosso caso k=3, logo o fator é 3^2=9.

Passo 4

Observação sobre orientação e sinais (detalhe útil para provas).
  • Se o fator de escala fosse negativo (por exemplo -3), a matriz kI teria determinante k^2 ainda igual a 9, mas o sinal do determinante indicaria inversão de orientação. Para a área usamos o valor absoluto do determinante, então a área também é multiplicada por 9.
  • Em resumo: o sinal não altera o fator de multiplicação da área, que sempre será k^2.

Passo 5

Exemplo numérico concreto para fixar (pra você colocar na prova se pedirem um exemplo):
  • Começando com um quadrado de lado 2, área 2\cdot2=4. Após ampliar todos os comprimentos por 3, o lado passa a 6 e a área passa a 6\cdot6=36. De novo, 36=9\cdot4.

Resposta

A área é multiplicada por 9.

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