- Quando ampliamos linearmente um mapa pelo triplo em suas medidas, em quanto estaremos ampliando sua área?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quando ampliamos linearmente um mapa pelo triplo em suas medidas, em quanto estaremos ampliando sua área?”
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- O fator de escala linear é
. - A ampliação é aplicada às medidas lineares (comprimentos) do mapa em ambas as direções do plano.
Passo 2
Entendendo a ideia básica com um retângulo simples (intuição geométrica).
- Considere um retângulo com lados de comprimentos
e . A área original vale
- Se ampliarmos linearmente todas as medidas pelo fator
, os novos lados ficam e . A nova área vale
- Desenvolvendo,
Conclusão desta etapa: duplicar a escala linear por
multiplica a área por
.
Passo 3
Explicação geral usando transformação linear (uma aula rápida sobre por que isso vale para qualquer figura).
- Uma transformação linear que multiplica todas as distâncias por
é chamada homotetia de razão . Em coordenadas, corresponde à multiplicação por uma matriz , onde é a matriz identidade. - O fator pelo qual uma transformação linear altera áreas no plano é o valor absoluto do determinante da matriz que a representa. Para a matriz
em dimensões temos
- Portanto, uma homotetia de razão
multiplica qualquer área por . No nosso caso , logo o fator é .
Passo 4
Observação sobre orientação e sinais (detalhe útil para provas).
- Se o fator de escala fosse negativo (por exemplo
), a matriz teria determinante ainda igual a , mas o sinal do determinante indicaria inversão de orientação. Para a área usamos o valor absoluto do determinante, então a área também é multiplicada por . - Em resumo: o sinal não altera o fator de multiplicação da área, que sempre será
.
Passo 5
Exemplo numérico concreto para fixar (pra você colocar na prova se pedirem um exemplo):
- Começando com um quadrado de lado
, área . Após ampliar todos os comprimentos por , o lado passa a e a área passa a . De novo, .
Resposta
A área é multiplicada por
.