- Uma determinada área (1) foi reduzida pela metade em suas dimensões lineares. Qual foi a redução da área?
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: uma área qualquer (que chamo de área original) teve as suas dimensões lineares reduzidas pela metade. A pergunta é: qual foi a redução da área?
Informações dadas:
Informações dadas:
- As dimensões lineares foram reduzidas por um fator de
. - Deseja-se saber quanto a área diminuiu (em termos de fração e/ou porcentagem).
Passo 2
Vamos nomear variáveis para ficar claro. Seja
a área original antes da redução e
a área após reduzir as dimensões lineares. Também introduzo o fator de escala linear
, que é o número pelo qual cada dimensão linear foi multiplicada. Pelo enunciado:
Isso só organiza as ideias; não resolvi ainda nada.
Passo 3
Regra importante (e muito usada em provas): quando se escala uma figura plana multiplicando todas as dimensões lineares por um fator
, a área da figura é multiplicada por
. Vou explicar por que isso é verdade de forma simples e concreta.
Considere um retângulo com lados
e
. A sua área é
Se eu reduzir cada lado pelo fator
, os novos lados ficam
e
. A nova área é
Portanto a área escala com o quadrado do fator linear. Essa demonstração é geral: qualquer figura plana pode ser aproximada por pequenos retângulos ou triângulos; todos eles escalam com
, então a área total também escala com
.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso: como
, a nova área
é
Ou seja, depois da redução linear pela metade, a área passou a ser um quarto da original.
Passo 5
Agora calculamos a redução absoluta e a redução percentual.
Redução absoluta (diferença entre área original e nova):
Redução percentual:
Passo 6
Exemplo numérico rápido para ficar na cabeça: se a área original fosse
(unidades²), a nova área seria
(unidades²). A redução é
(unidades²), ou seja
. Isso ajuda a verificar se o raciocínio bate com números simples.
Resposta
A área passou a ser
da original; houve uma redução de
da área, isto é,
.