1. Uma determinada área (1) foi reduzida pela metade em suas dimensões lineares. Qual foi a redução da área?

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: uma área qualquer (que chamo de área original) teve as suas dimensões lineares reduzidas pela metade. A pergunta é: qual foi a redução da área?
Informações dadas:
  • As dimensões lineares foram reduzidas por um fator de \dfrac{1}{2}.
  • Deseja-se saber quanto a área diminuiu (em termos de fração e/ou porcentagem).

Passo 2

Vamos nomear variáveis para ficar claro. Seja A_0 a área original antes da redução e A_1 a área após reduzir as dimensões lineares. Também introduzo o fator de escala linear k, que é o número pelo qual cada dimensão linear foi multiplicada. Pelo enunciado:
k=\frac{1}{2}.
Isso só organiza as ideias; não resolvi ainda nada.

Passo 3

Regra importante (e muito usada em provas): quando se escala uma figura plana multiplicando todas as dimensões lineares por um fator k, a área da figura é multiplicada por k^2. Vou explicar por que isso é verdade de forma simples e concreta.
Considere um retângulo com lados a e b. A sua área é
A = a\cdot b.
Se eu reduzir cada lado pelo fator k, os novos lados ficam ka e kb. A nova área é
A' = (ka)\cdot (kb) = k^2 (a\cdot b) = k^2 A.
Portanto a área escala com o quadrado do fator linear. Essa demonstração é geral: qualquer figura plana pode ser aproximada por pequenos retângulos ou triângulos; todos eles escalam com k^2, então a área total também escala com k^2.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso: como k=\dfrac{1}{2}, a nova área A_1 é
A_1 = k^2 A_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 A_0 = \frac{1}{4} A_0.
Ou seja, depois da redução linear pela metade, a área passou a ser um quarto da original.

Passo 5

Agora calculamos a redução absoluta e a redução percentual.
Redução absoluta (diferença entre área original e nova):
\Delta A = A_0 - A_1 = A_0 - \frac{1}{4}A_0 = \frac{3}{4}A_0.
Redução percentual:
\text{redução (\%)} = \frac{\Delta A}{A_0}\times 100\% = \frac{\tfrac{3}{4}A_0}{A_0}\times 100\% = \frac{3}{4}\times 100\% = 75\%.çã

Passo 6

Exemplo numérico rápido para ficar na cabeça: se a área original fosse A_0=100 (unidades²), a nova área seria A_1=\dfrac{1}{4}\cdot100=25 (unidades²). A redução é 100-25=75 (unidades²), ou seja 75\%. Isso ajuda a verificar se o raciocínio bate com números simples.

Resposta

A área passou a ser \dfrac{1}{4} da original; houve uma redução de \dfrac{3}{4} da área, isto é, 75\%.

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