1. Uma carta que teve sua área ampliada em 64 vezes, sofreu uma ampliação linear de quantas vezes?

Passo 1

O enunciado diz que a área de uma carta foi ampliada em 64 vezes e pergunta de quantas vezes foi feita a ampliação linear.
Informações dadas:
  • Fator de ampliação da área: 64.
    O que se pede:
  • O fator de ampliação linear (quantas vezes as dimensões lineares foram multiplicadas).

Passo 2

Entender o que é “ampliação linear”: se um objeto tem todas as suas dimensões lineares (comprimento, largura) multiplicadas por um mesmo número k, diz-se que houve ampliação linear por um fator k. Esse k é adimensional e positivo quando falamos em aumentar tamanhos.

Passo 3

Relação entre ampliação linear e ampliação de área (a parte teórica que precisa decorar e entender): se uma figura plana tem dimensões lineares multiplicadas por k, então cada comprimento é multiplicado por k e cada largura por k; como a área é produto de duas dimensões lineares, a nova área será multiplicada por k^2. Em forma de fórmula:
\text{fator de área} = k^2.á
Explicação com exemplo simples: um retângulo de lados a e b tem área A=a\cdot b. Após a ampliação linear por k os lados ficam ka e kb e a nova área é
A'=(ka)(kb)=k^2(ab)=k^2 A.

Passo 4

Aplicar a relação ao problema: sabemos que a área foi multiplicada por 64, ou seja
k^2=64.

Passo 5

Resolver a equação para k. Tirando raiz quadrada:
k=\sqrt{64}.
Calcular \sqrt{64} sem calculadora: 64=2^6, logo \sqrt{64}=2^{6/2}=2^3=8. Portanto k=8.

Passo 6

Observação sobre sinal: a equação k^2=64 tem soluções k=8 e k=-8, mas ampliação linear refere-se a fator multiplicativo positivo (tamanho), então descartamos k=-8. Assim a ampliação linear é 8 vezes.

Passo 7

Dica rápida para a prova: memorize que
  • área escala com k^2,
  • perímetro (ou comprimentos) escala com k,
  • volume escala com k^3 (no caso de corpos 3D).
    Isso ajuda a responder problemas semelhantes muito rápido.

Resposta

A ampliação linear é de 8 vezes.

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