Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d x d y como soma de duas integrais iteradas. Após, inverta a ordem de integração:
  • y=e^x, y=ln (x), x+y=1, x+y=1+e.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas
y = e^x, y = ln(x), x + y = 1, x + y = 1 + e,
e depois escrever
integral duplaR f(x,y),dx,dy
como soma de duas integrais iteradas (integrando primeiro em y e depois em x), para em seguida inverter a ordem de integração (integrando primeiro em x e depois em y). Vamos usar que f é contínua e o Teorema de Fubini, e notar que R não é simples em x nem simples em y sem uma decomposição.

Passo 2

Determinar os vértices de R resolvendo as interseções:
1. y=e^x e x+y=1; Rightarrow; x+e^x=1. A raiz é x=0, logo ponto (0,1).
2. y=e^x e x+y=1+e; Rightarrow; x+e^x=1+e. A solução é x=1, ponto (1,e).
3. y=ln(x) e x+y=1; Rightarrow; x+ln(x)=1. A solução é x=1, ponto (1,0).
4. y=ln(x) e x+y=1+e; Rightarrow; x+ln(x)=1+e. A solução é x=e, ponto (e,1).

Passo 3

Esboçando R vemos que, para 0<= x<=1, a aresta inferior é a reta x+y=1 (isto é, y=1-x) e a aresta superior é a curva y=e^x. Para 1<= x<= e, a aresta inferior passa a ser y=ln(x) e a aresta superior é a reta x+y=1+e (ou seja, y=1+e-x). Logo
R =l(x,y)mid 0<= x<=1,;1-x<= y<= e^xr ;cup; l(x,y)mid 1<= x<= e,;ln(x)<= y<=1+e-xr
Portanto, por Fubini,
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integralx=0^1!!l[integraly=1-x^e^xf(x,y),dyr]dx ;+; integralx=1^e!!l[integraly=ln(x)^,1+e-xf(x,y),dyr]dx

Passo 4

Para inverter a ordem, notamos que o valor de y em R vai de y=0 até y=e.
  • Se 0<= y<=1, a fatia horizontal atravessa R de x=1-y (reta x+y=1) até x=e^y (inversa de y=e^x).
  • Se 1<= y<= e, a fatia vai de x=ln(y) (inversa de y=e^x) até x=1+e-y (reta x+y=1+e).
    Logo
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integraly=0^1!!l[integralx=1-y^e^yf(x,y),dxr]dy ;+; integraly=1^e!!l[integralx=ln(y)^,1+e-yf(x,y),dxr]dy

Resposta

integral duplaRf(x,y),dx,dy =integral0^1!l[integral1-x^e^xf(x,y),dyr]dx +integral1^e!l[integralln(x)^,1+e-xf(x,y),dyr]dx
e invertendo a ordem
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integral0^1!l[integral1-y^e^yf(x,y),dxr]dy +integral1^e!l[integralln(y)^,1+e-yf(x,y),dxr]dy

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