Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como soma de duas integrais iteradas. Após, inverta a ordem de integração:
-
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
limitada pelas curvas
e depois escrever
como soma de duas integrais iteradas (integrando primeiro em
e depois em
), para em seguida inverter a ordem de integração (integrando primeiro em
e depois em
). Vamos usar que
é contínua e o Teorema de Fubini, e notar que
não é simples em
nem simples em
sem uma decomposição.
Passo 2
Determinar os vértices de
resolvendo as interseções:
.
e
;
;
. A raiz é
, logo ponto
.
.
e
;
;
. A solução é
, ponto
.
.
e
;
;
. A solução é
, ponto
.
.
e
;
;
. A solução é
, ponto
.
Passo 3
Esboçando
vemos que, para
, a aresta inferior é a reta
(isto é,
) e a aresta superior é a curva
. Para
, a aresta inferior passa a ser
e a aresta superior é a reta
(ou seja,
). Logo
Portanto, por Fubini,
Passo 4
Para inverter a ordem, notamos que o valor de
em
vai de
até
.
- Se
, a fatia horizontal atravessa de (reta ) até (inversa de ). - Se
, a fatia vai de (inversa de ) até (reta ).
Logo
Resposta
e invertendo a ordem