Ana e Beto foram os únicos candidatos na eleição para a presidência do grêmio estudantil da escola em que ambos estudam. Nessa eleição, votaram ao todo 1450 alunos. Durante a apuração, houve um momento em que Ana teve a certeza de que, ao final, ela teria pelo menos a metade dos votos válidos. Naquele momento, os percentuais eram os seguintes:
  • votos não válidos: 20 \% dos votos apurados;
  • votos em Ana: 60 \% dos votos válidos;
  • votos em Beto: 40 \% dos votos válidos.
Quantos votos tinham sido apurados até aquele momento?
a) 1110
b) 1150
c) 1200
d) 1250
e) 1300

Passo 1

O enunciado diz que, de um total de 1450 votos, num dado momento foram apurados N votos, em que:
20\% de N são votos não válidos;
60\% dos votos válidos são de Ana e 40\% de Beto.
Ana quer ter certeza de que, ao final, terá pelo menos metade dos votos válidos. Vamos calcular o menor N que garante isso, adotando o pior caso (todos os votos restantes forem válidos e forem para Beto).

Passo 2

Calculemos as quantidades atuais em função de N:
– votos válidos apurados:
0,8\,N
– votos de Ana até então:
0,6\,(0,8\,N)=0,48\,N

Passo 3

No pior cenário, os 1450-N votos restantes são todos válidos e vão para Beto. Então:
– total final de votos válidos
0,8\,N + (1450 - N)=1450 - 0,2\,N
– votos finais de Ana
0,48\,N
Para Ana garantir pelo menos metade dos válidos precisamos de
0,48\,N \;\ge\; \tfrac12\bigl(1450 - 0,2\,N\bigr).

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
0,48\,N \ge 725 - 0,1\,N \quad\Longrightarrow\quad 0,58\,N \ge 725 \quad\Longrightarrow\quad N \ge \frac{725}{0,58}=1250.
O menor valor inteiro de N que satisfaz é 1250.

Resposta

d) 1250

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