( ANAC / ESAF (adaptado)) Em uma população, 1% dos indivíduos é portador de uma doença rara. Um exame foi desenvolvido com as seguintes características:
  • Se a pessoa tem a doença, o teste é positivo com probabilidade 0,99.
  • Se a pessoa não tem a doença, o teste ainda é positivo com probabilidade 0,05.
Um paciente foi submetido ao teste e o resultado foi positivo.
(a) Qual a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença?
(b) Interprete esse resultado usando o Teorema de Bayes e discuta a importância de considerar a base populacional.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
  • A prevalência da doença é P(D)=0,01 (ou seja, 1\% da população tem a doença).
  • Sensibilidade do teste (probabilidade de positivo se a pessoa tem a doença): P(+\mid D)=0,99.
  • Probabilidade de falso positivo (probabilidade de positivo se a pessoa não tem a doença): P(+\mid D^{c})=0,05.
O enunciado pede:
(a) Calcular a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença, dado que o teste deu positivo — isto é, P(D\mid +).
(b) Interpretar esse resultado usando o Teorema de Bayes e discutir a importância de considerar a base populacional (a prevalência).

Passo 2

Definições e notação — vamos fixar símbolos para ficar tudo claro:
  • D = evento “pessoa tem a doença”.
  • D^{c} = evento “pessoa não tem a doença”.
  • + = evento “teste deu positivo”.
As probabilidades dadas, escritas com a notação que vamos usar, são:
P(D)=0,01,\qquad P(D^{c})=1-P(D)=0,99,
P(+\mid D)=0,99,\qquad P(+\mid D^{c})=0,05.

Passo 3

Apresentando o Teorema de Bayes (fórmula que vamos usar) e explicando cada termo.
O Teorema de Bayes diz que a probabilidade posterior de D dado um resultado + é
P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+)}.
Aqui:
  • P(D\mid +) é o que queremos (probabilidade de ter a doença dado teste positivo).
  • P(+\mid D) é a sensibilidade (probabilidade do teste dar positivo quando há doença).
  • P(D) é a prevalência ou probabilidade a priori de ter a doença.
  • P(+) é a probabilidade total do teste dar positivo em um indivíduo qualquer; ela normaliza a fração e é dada pela lei da probabilidade total:
P(+)=P(+\mid D)P(D)+P(+\mid D^{c})P(D^{c}).
Explicação conceitual: o numerador conta as partidas “verdadeiros positivos” ponderadas pela prevalência; o denominador soma verdadeiros positivos e falsos positivos, dando o total de positivos observados na população.

Passo 4

Calcular a probabilidade total de teste positivo P(+) usando a fórmula da probabilidade total:
P(+)=0,99\cdot0,01+0,05\cdot0,99.
Fazendo as contas passo a passo:
0,99\cdot0,01=0,0099,
0,05\cdot0,99=0,0495,
P(+)=0,0099+0,0495=0,0594.

Passo 5

Aplicar Bayes para obter P(D\mid +):
P(D\mid +)=\frac{0,99\cdot0,01}{0,0594}=\frac{0,0099}{0,0594}.
Simplificando a fração:
\frac{0,0099}{0,0594}=\frac{99}{594}=\frac{1}{6}\approx0,1667.
Portanto a probabilidade pedida é P(D\mid +)=\dfrac{1}{6}\approx0,1667 (ou cerca de 16,67\%).

Passo 6

Interpretação numérica com exemplo em “contagens” (truque intuitivo útil em prova).
Suponha 10\,000 pessoas:
  • Pessoas com a doença: 10\,000\times0,01=100.
    • Destes, verdadeiros positivos: 100\times0,99=99.
    • Falsos negativos: 100-99=1.
  • Pessoas sem a doença: 10\,000-100=9\,900.
    • Destas, falsos positivos: 9\,900\times0,05=495.
    • Verdadeiros negativos: 9\,900-495=9\,405.
Total de testes positivos: 99+495=594.
Entre os 594 positivos, apenas 99 realmente têm a doença, ou seja 99/594=1/6\approx0,1667. Isso confirma o resultado por contagem.

Passo 7

Discussão e interpretação conceitual (importância da base populacional):
  • Mesmo com alta sensibilidade ( P(+\mid D)=0,99) e razoável especificidade ( P(-\mid D^{c})=0,95), quando a prevalência é muito baixa ( P(D)=0,01), a maioria dos positivos pode ser falsos positivos. Aqui, cerca de 83\% dos positivos são falsos positivos e só 17\% são verdadeiros positivos.
  • Esse fenômeno é chamado de efeito da prevalência (ou “base rate effect”). Ignorar a prevalência e olhar só para sensibilidade/especificidade leva à chamada falácia da taxa base (base rate fallacy): achar que um teste “bom” implica alta probabilidade pós-teste sem considerar quantas pessoas realmente têm a condição na população.
  • Implicações práticas: para doenças raras, um teste positivo costuma exigir confirmação por outro exame (ou considerar contexto clínico e sinais/risco do paciente) antes de concluir diagnóstico definitivo.

Passo 8

Dica prática para prova e raciocínio rápido:
  • Método rápido e seguro: converta probabilidades em contagens (por exemplo, por 1\,000 ou 10\,000) e conte verdadeiros/falsos positivos — isso evita erros algébricos e facilita a interpretação.
  • Não esqueça: sempre verifique a prevalência antes de interpretar um teste diagnóstico.

Resposta

(a) P(D\mid +)=\dfrac{1}{6}\approx0,1667 (cerca de 16,67\%).
(b) Apesar do teste ter alta sensibilidade e boa especificidade, a baixa prevalência ( 1\%) faz com que a maioria dos positivos sejam falsos positivos; o Teorema de Bayes mostra que a probabilidade pós-teste depende crucialmente da prevalência, por isso é essencial considerar a base populacional (e muitas vezes confirmar positivos com testes adicionais).

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