( ANAC / ESAF (adaptado)) Em uma população, 1% dos indivíduos é portador de uma doença rara. Um exame foi desenvolvido com as seguintes características:
- Se a pessoa tem a doença, o teste é positivo com probabilidade 0,99.
- Se a pessoa não tem a doença, o teste ainda é positivo com probabilidade 0,05.
Um paciente foi submetido ao teste e o resultado foi positivo.
(a) Qual a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença?
(b) Interprete esse resultado usando o Teorema de Bayes e discuta a importância de considerar a base populacional.
(a) Qual a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença?
(b) Interprete esse resultado usando o Teorema de Bayes e discuta a importância de considerar a base populacional.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
- A prevalência da doença é
(ou seja, da população tem a doença). - Sensibilidade do teste (probabilidade de positivo se a pessoa tem a doença):
. - Probabilidade de falso positivo (probabilidade de positivo se a pessoa não tem a doença):
.
O enunciado pede:
(a) Calcular a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença, dado que o teste deu positivo — isto é, .
(b) Interpretar esse resultado usando o Teorema de Bayes e discutir a importância de considerar a base populacional (a prevalência).
(a) Calcular a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença, dado que o teste deu positivo — isto é,
(b) Interpretar esse resultado usando o Teorema de Bayes e discutir a importância de considerar a base populacional (a prevalência).
Passo 2
Definições e notação — vamos fixar símbolos para ficar tudo claro:
-
= evento “pessoa tem a doença”. -
= evento “pessoa não tem a doença”. -
= evento “teste deu positivo”.
As probabilidades dadas, escritas com a notação que vamos usar, são:
Passo 3
Apresentando o Teorema de Bayes (fórmula que vamos usar) e explicando cada termo.
O Teorema de Bayes diz que a probabilidade posterior de dado um resultado
é
O Teorema de Bayes diz que a probabilidade posterior de
Aqui:
-
é o que queremos (probabilidade de ter a doença dado teste positivo). -
é a sensibilidade (probabilidade do teste dar positivo quando há doença). -
é a prevalência ou probabilidade a priori de ter a doença. -
é a probabilidade total do teste dar positivo em um indivíduo qualquer; ela normaliza a fração e é dada pela lei da probabilidade total:
Explicação conceitual: o numerador conta as partidas “verdadeiros positivos” ponderadas pela prevalência; o denominador soma verdadeiros positivos e falsos positivos, dando o total de positivos observados na população.
Passo 4
Calcular a probabilidade total de teste positivo
usando a fórmula da probabilidade total:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 5
Aplicar Bayes para obter
:
Simplificando a fração:
Portanto a probabilidade pedida é
(ou cerca de
).
Passo 6
Interpretação numérica com exemplo em “contagens” (truque intuitivo útil em prova).
Suponha pessoas:
Suponha
- Pessoas com a doença:
. - Destes, verdadeiros positivos:
. - Falsos negativos:
.
- Destes, verdadeiros positivos:
- Pessoas sem a doença:
. - Destas, falsos positivos:
. - Verdadeiros negativos:
.
- Destas, falsos positivos:
Total de testes positivos:
.
Entre os positivos, apenas
realmente têm a doença, ou seja
. Isso confirma o resultado por contagem.
Entre os
Passo 7
Discussão e interpretação conceitual (importância da base populacional):
- Mesmo com alta sensibilidade (
) e razoável especificidade ( ), quando a prevalência é muito baixa ( ), a maioria dos positivos pode ser falsos positivos. Aqui, cerca de dos positivos são falsos positivos e só são verdadeiros positivos. - Esse fenômeno é chamado de efeito da prevalência (ou “base rate effect”). Ignorar a prevalência e olhar só para sensibilidade/especificidade leva à chamada falácia da taxa base (base rate fallacy): achar que um teste “bom” implica alta probabilidade pós-teste sem considerar quantas pessoas realmente têm a condição na população.
- Implicações práticas: para doenças raras, um teste positivo costuma exigir confirmação por outro exame (ou considerar contexto clínico e sinais/risco do paciente) antes de concluir diagnóstico definitivo.
Passo 8
Dica prática para prova e raciocínio rápido:
- Método rápido e seguro: converta probabilidades em contagens (por exemplo, por
ou ) e conte verdadeiros/falsos positivos — isso evita erros algébricos e facilita a interpretação. - Não esqueça: sempre verifique a prevalência antes de interpretar um teste diagnóstico.
Resposta
(a)
(cerca de
).
(b) Apesar do teste ter alta sensibilidade e boa especificidade, a baixa prevalência ( ) faz com que a maioria dos positivos sejam falsos positivos; o Teorema de Bayes mostra que a probabilidade pós-teste depende crucialmente da prevalência, por isso é essencial considerar a base populacional (e muitas vezes confirmar positivos com testes adicionais).
(b) Apesar do teste ter alta sensibilidade e boa especificidade, a baixa prevalência (