Um anagrama formado a partir de CARDUME é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele começar e terminar por vogal?
Passo 1
O enunciado pede: “Um anagrama formado a partir de CARDUME é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele começar e terminar por vogal?”\n
Informações dadas e relevantes:\n
Informações dadas e relevantes:\n
- A palavra dada é
.\n - As letras da palavra são:
.\n - Queremos a probabilidade de um anagrama (ou seja, uma permutação das sete letras) começar com vogal e terminar com vogal.\n
- As vogais presentes na palavra são
(três vogais).\n - Todas as letras aparecem apenas uma vez (ou seja, as sete letras são distintas).
Passo 2
Contar o número total de anagramas possíveis. Vou explicar a ideia da fórmula usada: quando temos
objetos distintos e queremos ordenar todos eles, o número de ordens possíveis é o produto
, que chamamos de fatorial e escrevemos
. Aqui temos
letras distintas, então o total de anagramas é
Agora calculemos
:
Portanto, o total de anagramas possíveis é
.
Passo 3
Contar o número de anagramas que começam e terminam por vogal (contagem favorável), usando contagem direta. Vou explicar passo a passo a lógica e por que cada escolha é feita assim.\n
- Primeiro, para que o anagrama comece e termine por vogal precisamos escolher qual vogal vai na primeira posição e qual vogal vai na última posição. Como a ordem importa (primeira e última posição são diferentes), estamos escolhendo um par ordenado de vogais sem repetição. Se tivermos
vogais e queremos preencher duas posições distintas sem repetir, o número de maneiras é . Aqui , então há
maneiras de escolher (e ordenar) as vogais que ficarão na primeira e na última posição.\n
- Depois de fixadas a primeira e a última letras (duas vogais escolhidas), restam
letras para preencher as posições do meio. Essas letras são todas distintas e podem ser ordenadas de maneiras. Lembrando que .\n - Portanto o número total de anagramas favoráveis é
Passo 4
Explicar a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais, e calcular a fração antes de simplificá-la. A definição básica de probabilidade para um espaço amostral finito e equiprovável é:
Substituindo os números que encontramos:
Passo 5
Simplificar a fração
. Vou mostrar a simplificação de forma clara: ambos os números são múltiplos de
, pois
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 6
Apresentar um método alternativo (via probabilidade condicional passo a passo), que às vezes é mais rápido na prova e reforça o entendimento.\n
- Probabilidade de a primeira letra ser vogal: há
vogais entre letras, então .\n - Dado que a primeira letra foi uma vogal, restam
letras e vogais; assim a probabilidade da última ser vogal é .\n - Pela regra do produto (probabilidade de dois eventos sequenciais independentes condicionalmente), a probabilidade de ambos acontecerem é
o que confirma o resultado da contagem direta.\n
Força aí — a ideia é ver que tanto contando quanto usando probabilidades condicionais chegamos ao mesmo .
Força aí — a ideia é ver que tanto contando quanto usando probabilidades condicionais chegamos ao mesmo