Um anagrama formado a partir de CARDUME é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele começar e terminar por vogal?

Passo 1

O enunciado pede: “Um anagrama formado a partir de CARDUME é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele começar e terminar por vogal?”\n
Informações dadas e relevantes:\n
  • A palavra dada é \text{CARDUME}.\n
  • As letras da palavra são: C,\;A,\;R,\;D,\;U,\;M,\;E.\n
  • Queremos a probabilidade de um anagrama (ou seja, uma permutação das sete letras) começar com vogal e terminar com vogal.\n
  • As vogais presentes na palavra são A,\;U,\;E (três vogais).\n
  • Todas as letras aparecem apenas uma vez (ou seja, as sete letras são distintas).

Passo 2

Contar o número total de anagramas possíveis. Vou explicar a ideia da fórmula usada: quando temos n objetos distintos e queremos ordenar todos eles, o número de ordens possíveis é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n, que chamamos de fatorial e escrevemos n!. Aqui temos 7 letras distintas, então o total de anagramas é
7!.
Agora calculemos 7!: 7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.
Portanto, o total de anagramas possíveis é 5040.

Passo 3

Contar o número de anagramas que começam e terminam por vogal (contagem favorável), usando contagem direta. Vou explicar passo a passo a lógica e por que cada escolha é feita assim.\n
  • Primeiro, para que o anagrama comece e termine por vogal precisamos escolher qual vogal vai na primeira posição e qual vogal vai na última posição. Como a ordem importa (primeira e última posição são diferentes), estamos escolhendo um par ordenado de vogais sem repetição. Se tivermos k vogais e queremos preencher duas posições distintas sem repetir, o número de maneiras é k(k-1). Aqui k=3, então há
3\cdot 2 = 6
maneiras de escolher (e ordenar) as vogais que ficarão na primeira e na última posição.\n
  • Depois de fixadas a primeira e a última letras (duas vogais escolhidas), restam 5 letras para preencher as 5 posições do meio. Essas 5 letras são todas distintas e podem ser ordenadas de 5! maneiras. Lembrando que 5! = 120.\n
  • Portanto o número total de anagramas favoráveis é
6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720.

Passo 4

Explicar a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais, e calcular a fração antes de simplificá-la. A definição básica de probabilidade para um espaço amostral finito e equiprovável é:
\text{Probabilidade} = \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}}.úáúí
Substituindo os números que encontramos:
\text{Probabilidade} = \frac{720}{5040}.

Passo 5

Simplificar a fração \dfrac{720}{5040}. Vou mostrar a simplificação de forma clara: ambos os números são múltiplos de 720, pois 720\cdot 7 = 5040. Dividindo numerador e denominador por 720 obtemos
\frac{720}{5040} = \frac{1}{7}.

Passo 6

Apresentar um método alternativo (via probabilidade condicional passo a passo), que às vezes é mais rápido na prova e reforça o entendimento.\n
  • Probabilidade de a primeira letra ser vogal: há 3 vogais entre 7 letras, então \dfrac{3}{7}.\n
  • Dado que a primeira letra foi uma vogal, restam 6 letras e 2 vogais; assim a probabilidade da última ser vogal é \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.\n
  • Pela regra do produto (probabilidade de dois eventos sequenciais independentes condicionalmente), a probabilidade de ambos acontecerem é
\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{7},
o que confirma o resultado da contagem direta.\n
Força aí — a ideia é ver que tanto contando quanto usando probabilidades condicionais chegamos ao mesmo \dfrac{1}{7}.

Resposta

\dfrac{1}{7}

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