Analice, se a matriz dada A é diagonalizável em in M(n times n, R) ou in M(n times n, C) ou em nenhum dos espaços. Caso afirmativo determine as matrizes P e D.
A=[ccc0.5 & -2.5 & 0 -2.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a matriz
A = 0.5 & -2.5 & 0 -2.5 & 0.5 & 0 0 & 0 & 3
é diagonalizável em M(3times3,R) ou em M(3times3,C). O conteúdo é diagonalização: vamos calcular autovalores e autovetores, verificar multiplicidades e montar as matrizes P e D.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Como o bloco 2times2 e a entrada 3 em separado, temos
det! 0.5-lambda & -2.5 -2.5 & 0.5-lambda (3-lambda)=0
Do 2times2 sai (0.5-lambda)^2-(-2.5)^2=0implies0.5-lambda=pm2.5, ou seja
lambda1=0.5+2.5=3, lambda2=0.5-2.5=-2
E da última linha vem lambda3=3. Logo os autovalores são
lambda=-2 (mu<iplicidade 1), lambda=3 (mu<iplicidade 2)

Passo 3

Para resolvemos , isto é
Um autovetor conveniente é

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Podemos escolher dois autovetores independentes

Passo 5

Como a soma das dimensões dos autespaços ( 1+2=3) iguala a ordem da matriz, A é diagonalizável em R (e claro em C). Montamos
P=l[v1;v2;v3r] = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 , D = -2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 ,
de modo que A = P,D,P^-1.

Resposta

A matriz A é diagonalizável em M(3times3,R).
P = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 , D = -2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3

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