Use diagonalização para determinar a solução do sistema de equações diferenciais dado.
clccx^prime & & & 4 x+z y^prime & & = & -2 x+y z^prime & & = & -2 x+z x0=-1, & y0 & =1, & z0=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x' = 4x + z, y' = -2x + y, z' = -2x + z,
com condição inicial x(0)=-1, y(0)=1, z(0)=0.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por diagonalização: representamos o sistema como x'=Ax, diagonalizamos A=PDP^-1 e usamos x(t)=Pe^DtP^-1x(0).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1
e calculamos o polinómio característico
det(A-lambda I) =(4-lambda)(1-lambda)^2 +2(1-lambda) =(1-lambda)l((4-lambda)(1-lambda)+2r) =(1-lambda)(lambda-2)(lambda-3)
Logo os autovalores são lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3.

Passo 3

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I)v=0:
  • lambda1=1: v^(1)=(0,1,0)^T.
  • lambda2=2: v^(2)=(1,-2,-2)^T.
  • lambda3=3: v^(3)=(1,-1,-1)^T.

Passo 4

Formamos
P=l[v^(1);,v^(2);,v^(3)r] = 0 & 1 & 1 1 & -2 & -1 0 & -2 & -1 , D=diag(1,2,3)
Então a solução geral é
x(t) =Pe^DtP^-1x(0) =sumi=1^3 ci,v^(i)e^lambdai t,
onde os ci vêm de x(0)=sum ci v^(i).

Passo 5

Escrevendo x(0)=(-1,1,0)^T e resolvendo
P,(c1,c2,c3)^T =(-1,1,0)^T
obtemos c1=1, c2=1, c3=-2.

Passo 6

Portanto
x(t) =1cdot v^(1)e^t +1cdot v^(2)e^2t -2cdot v^(3)e^3t,
isto é,
x(t)=l(0cdot e^t+1cdot e^2t-2cdot e^3tr) =e^2t-2e^3t,
y(t)=l(1cdot e^t-2cdot e^2t+2cdot e^3tr) =e^t-2e^2t+2e^3t,
z(t)=l(0cdot e^t-2cdot e^2t+2cdot e^3tr) =-2e^2t+2e^3t

Resposta

x(t)=e^2t-2e^3t, y(t)=e^t-2e^2t+2e^3t, z(t)=-2e^2t+2e^3t

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