Analice, se a matriz dada é diagonalizável em ou ou em nenhum dos espaços. Caso afirmativo determine as matrizes e .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é diagonalizável em ou em . Para isso vamos calcular o polinômio característico, identificar os autovalores e comparar suas multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Formemos A-lambda I e note que ela se apresenta em bloco triangular
As raízes de são , cada uma de multiplicidade algébrica 2.
Como não há autovalores reais, não é diagonalizável em .
Para saber se é diagonalizável em precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Passo 4
Calculemos o espaço próprio de
Das duas primeiras equações vem .
Substituindo na quarta obtém-se , ou seja .
Sobram 1 grau de liberdade, logo a dimensão do espaço próprio é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de (e, por simetria, de ) é menor que a algébrica, não possui base de autovetores completa em .