Analice, se a matriz dada A é diagonalizável em in M(n times n, R) ou in M(n times n, C) ou em nenhum dos espaços. Caso afirmativo determine as matrizes P e D.
A=[cccc0 & 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -2 3 & 0 & 2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
é diagonalizável em ou em . Para isso vamos calcular o polinômio característico, identificar os autovalores e comparar suas multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Formemos A-lambda I e note que ela se apresenta em bloco triangular
A - lambda I = -lambda & 2 & 0 & 0 -2 & -lambda& 0 & 0 0 & 0 & -lambda & -2 3 & 0 & 2 & -lambda = M1 & 0 C & M2
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chiA(lambda) =det(A-lambda I) =det M1;det M2 =(lambda^2+4),(lambda^2+4) =(lambda^2+4)^2

Passo 3

As raízes de são , cada uma de multiplicidade algébrica 2.
  • Como não há autovalores reais, não é diagonalizável em .
  • Para saber se é diagonalizável em precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 4

Calculemos o espaço próprio de
Das duas primeiras equações vem .
Substituindo na quarta obtém-se , ou seja .
Sobram 1 grau de liberdade, logo a dimensão do espaço próprio é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de (e, por simetria, de ) é menor que a algébrica, não possui base de autovetores completa em .

Resposta

A matriz não é diagonalizável nem em nem em .

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