Analice, se a matriz dada é diagonalizável em ou ou em nenhum dos espaços. Caso afirmativo determine as matrizes e .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & -1 & 5 0 & -1 & 3
é diagonalizável em M3(R) ou em M3(C), e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que P^-1AP = D. Para isso, vamos calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de A.
Passo 2
Subtraindo lambda I e expandindo o determinante pela primeira linha, obtemos o polinômio característico:
cuja raiz simples é lambda=1 e as outras duas raízes são as soluções de lambda^2-2lambda+2=0.
Passo 3
Resolvendo lambda^2-2lambda+2=0 obtemos
lambda = 2pmraiz4-82 = 1pm i
Portanto os autovalores são lambda1=1, lambda2=1+i e lambda3=1-i. Como há dois autovalores não reais, em R só temos um autovalor real de multiplicidade algébrica 1 e não conseguimos três autovetores reais independentes. Assim não é diagonalizável em M3(R), mas sim em M3(C) (há três autovalores distintos em C).
Passo 4
Para , resolvemos , ou seja,
Da primeira linha vem . Da segunda, implica . Logo é livre; escolhemos . Um autovetor para é
Passo 5
Para , resolvemos . A matriz fica
Da primeira linha dá . Da segunda leva a
Substituindo obtemos
Escolhendo , um autovetor para é
Passo 6
Para lambda3=1-i, o autovetor pode ser escolhido como o conjugado de v2:
v3 = v2 = 11-2i-i
Passo 7
Como v1,v2,v3 é conjunto de três vetores linearmente independentes em C^3, formamos