Analice, se a matriz dada A é diagonalizável em in M(n times n, R) ou in M(n times n, C) ou em nenhum dos espaços. Caso afirmativo determine as matrizes P e D.
A=[ccc1 & 0 & 1 0 & -1 & 5 0 & -1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & -1 & 5 0 & -1 & 3
é diagonalizável em M3(R) ou em M3(C), e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que P^-1AP = D. Para isso, vamos calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de A.

Passo 2

Subtraindo lambda I e expandindo o determinante pela primeira linha, obtemos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (1-lambda)det-1-lambda & 5 -1 & 3-lambda = (1-lambda)l[( -1-lambda)(3-lambda)-5(-1)r]
Calculamos o menor:
(-1-lambda)(3-lambda)+5 =-(1+lambda)(3-lambda)+5 =lambda^2-2lambda+2
Logo,
chiA(lambda) = (1-lambda)l(lambda^2-2lambda+2r)
cuja raiz simples é lambda=1 e as outras duas raízes são as soluções de lambda^2-2lambda+2=0.

Passo 3

Resolvendo lambda^2-2lambda+2=0 obtemos
lambda = 2pmraiz4-82 = 1pm i
Portanto os autovalores são lambda1=1, lambda2=1+i e lambda3=1-i. Como há dois autovalores não reais, em R só temos um autovalor real de multiplicidade algébrica 1 e não conseguimos três autovetores reais independentes. Assim não é diagonalizável em M3(R), mas sim em M3(C) (há três autovalores distintos em C).

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja,
Da primeira linha vem . Da segunda, implica . Logo é livre; escolhemos . Um autovetor para é

Passo 5

Para , resolvemos . A matriz fica
Da primeira linha . Da segunda leva a
Substituindo obtemos
Escolhendo , um autovetor para é

Passo 6

Para lambda3=1-i, o autovetor pode ser escolhido como o conjugado de v2:
v3 = v2 = 11-2i-i

Passo 7

Como v1,v2,v3 é conjunto de três vetores linearmente independentes em C^3, formamos
P = v1 & v2 & v3 = 1 & 1 & 1 0 & 1+2i & 1-2i 0 & i & -i ,
e a matriz diagonal
D = diag(1,;1+i,;1-i)
Verifica-se então P^-1AP = D.

Resposta

Não é diagonalizável em M3(R).
É diagonalizável em M3(C) com
P = 1 & 1 & 1 0 & 1+2i & 1-2i 0 & i & -i , D = 1 & 0 & 0 0 & 1+i & 0 0 & 0 & 1-i

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