Seja um operador linear cuja representação matricial na base canônica de é:
Mostre que T é diagonalizável e generalize para R^n.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A= 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Queremos mostrar que T é diagonalizável e depois estender o argumento para R^n. Para resolver isso vamos encontrar os autovalores de A, os respectivos autoespaços e usar o critério de diagonalizabilidade (existência de 3 autovetores linearmente independentes).
Passo 2
Observe que o vetor
v=(1,1,1)^T
satisfaz
A,v=1+1+11+1+11+1+1 =333 =3,v
Logo lambda1=3 é autovalor. Para qualquer vetor x=(x1,x2,x3)^T cuja soma das componentes seja zero, isto é, x1+x2+x3=0, temos
A,x= x1+x2+x3 x1+x2+x3 x1+x2+x3 =000 =0cdot x,
logo lambda2=lambda3=0 são autovalores (multiplicidade algébrica 2).
Passo 3
O autoespaço de lambda1=3 é span(1,1,1), de dimensão 1.
O autoespaço de lambda=0 é xinR^3mid x1+x2+x3=0, de dimensão 2.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3, que é a dimensão do espaço, concluímos que existem 3 autovetores linearmente independentes e, portanto, A (e T) é diagonalizável.
Analogamente, o vetor (1,dots,1)^T é autovetor de autovalor n, e qualquer vetor cuja soma das componentes seja zero é autovetor de autovalor 0 (multiplicidade algébrica n-1). Os autoespaços têm dimensões 1 e n-1, somando n. Logo Jn é diagonalizável em R^n.
Resposta
O operador T tem autovalores 3,0,0 com autoespaços de dimensões 1 e 2, portanto é diagonalizável. A matriz de diagonalização pode ser escolhida como
P=l[(1,1,1),,(1,-1,0),,(1,0,-1)r], D=diag(3,0,0),
com P^-1AP=D.
No caso geral em R^n, a matriz de todas as entradas iguais a 1 tem espectro n,0,dots,0 e também é diagonalizável.