Seja T: R^2 R^2 um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
[T]=[ll a & b b & c ]
Mostre que os autovalores de T são reais e que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado fornece um operador linear Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
[T] = a & b b & c,
que é simétrica. Para mostrar que os autovalores são reais usamos o polinômio característico e o discriminante; para provar diagonalizabilidade, analisamos a multiplicidade geométrica em cada caso (autovalores distintos ou coincidentes).

Passo 2

O polinômio característico de [T] é
detl([T]-lambda Ir) =deta-lambda & b b & c-lambda =(a-lambda)(c-lambda)-b^2 =lambda^2-(a+c)lambda+(ac-b^2)
Seu discriminante é
De<a=(a+c)^2-4(ac-b^2) =(a-c)^2+4b^2>=0,
logo as raízes lambda1,2=tfraca+cpmraizDe<a2 são reais.

Passo 3

Se De<a>0, então lambda1neqlambda2. Autovalores distintos geram espaços próprios de dimensão 1 cada, e em R^2 isso dá dois vetores próprios linearmente independentes. Portanto, T é diagonalizável nesse caso.

Passo 4

Se De<a=0, então (a-c)^2+4b^2=0 implica a=c e b=0. Nesse caso [T]=aI e todo vetor é próprio de autovalor lambda=a, de modo que a multiplicidade geométrica é 2, garantindo diagonalizabilidade.

Resposta

Os autovalores de T são reais e dados por
lambda1,2=a+cpmraiz(a-c)^2+4b^22,
e T é sempre diagonalizável em R^2.

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