Considere a seqûencia dada por recorrência
a1=3, a2=-1, an=an-1-5 an-2, n >= 3
Use diagonalização para determinar uma fórmula para o n-ésimo termo en função de n.

Passo 1

O enunciado define a sequência por
a1=3, a2=-1, an=an-1-5,an-2(n>=3),
que é uma recorrência linear homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver por diagonalização, vamos:
  1. escrever a recorrência em forma matricial xn=A,xn-1,
  2. encontrar autovalores e autovetores de A,
  3. diagonalizar A e usar A^n-2 para obter uma expressão fechada para an.

Passo 2

Definimos o vetor
e vemos que para
ou seja, com
e a condição inicial é
.
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Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda & -51 & -lambda =(1-lambda)(-lambda)-(-5) =lambda^2-lambda+5=0
As raízes são
lambda1,2=1pm iraiz192

Passo 4

Para cada lambdai um autovetor é vi=(lambdai,,1)^T.
Montamos
P=[v1;v2], D=diag(lambda1,lambda2),
de modo que A=P,D,P^-1 e
A^,n-2=P,D^,n-2P^-1

Passo 5

Dessa forma
xn =A^n-2x2 =P,D^n-2P^-1x2 =alpha,lambda1^,n-2v1 +beta,lambda2^,n-2v2,
onde (alpha,beta)^T=P^-1x2.
Da primeira componente de xn segue
an =alpha,lambda1^,n-1 +beta,lambda2^,n-1
Usando a1=3 e a2=-1 temos o sistema
alpha+beta=3, alpha,lambda1+beta,lambda2=-1,
cuja solução é
alpha=32+5,i2raiz19, beta=32-5,i2raiz19

Passo 6

Substituindo alpha, beta, lambda1 e lambda2 chegamos à forma fechada para an.

Resposta

an =l(32+5,i2raiz19r) l(1+iraiz192r)^n-1 +l(32-5,i2raiz19r) l(1-iraiz192r)^n-1

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