Considere a seqûencia dada por recorrência
Use diagonalização para determinar uma fórmula para o
-ésimo termo en função de
.
Passo 1
O enunciado define a sequência por
que é uma recorrência linear homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes. Para resolver por diagonalização, vamos:
- escrever a recorrência em forma matricial
, - encontrar autovalores e autovetores de
, - diagonalizar
e usar para obter uma expressão fechada para .
Passo 2
Definimos o vetor
e vemos que para
ou seja,
com
e a condição inicial é
.
Logo
Logo
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
:
As raízes são
Passo 4
Para cada
um autovetor é
.
Montamos
Montamos
de modo que
e
Passo 5
Dessa forma
onde
.
Da primeira componente de segue
Da primeira componente de
Usando
e
temos o sistema
cuja solução é
Passo 6
Substituindo
,
,
e
chegamos à forma fechada para
.