Quando analisamos altura, a população de Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média 175 cm e variância 100 cm .
Qual a probabilidade de ser necessário selecionar exatamente 8 indivíduos até se observar o primeiro indivíduo mais baixo que 165 cm ?
Qual a probabilidade de ser necessário selecionar exatamente 8 indivíduos até se observar o primeiro indivíduo mais baixo que 165 cm ?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolvê-la. A questão fala sobre alturas em Belo Horizonte que seguem uma distribuição normal com média de 175 cm e variância de 100 cm² (o que significa que o desvio padrão é 10 cm). Precisamos descobrir a probabilidade de precisar selecionar exatamente 8 pessoas até encontrar a primeira pessoa com altura menor que 165 cm.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição normal. A distribuição normal é simétrica e é definida por sua média (
) e desvio padrão (
). Aqui,
cm e
cm.
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade de uma pessoa ter altura menor que 165 cm. Para isso, vamos padronizar esse valor usando o escore z:
Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que
. Isso significa que há aproximadamente 15,87% de chance de uma pessoa ter menos de 165 cm.
Passo 4
Agora, queremos que as primeiras 7 pessoas tenham altura maior ou igual a 165 cm e a 8ª pessoa tenha menos de 165 cm. A probabilidade de uma pessoa ter altura maior ou igual a 165 cm é
.
Como cada seleção é independente, multiplicamos as probabilidades:
Passo 5
Vamos calcular:
Então:
Resposta
A probabilidade de precisar selecionar exatamente 8 indivíduos até encontrar o primeiro com altura menor que 165 cm é aproximadamente 5,08%.