Quando analisamos altura, a população de Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média 175 cm e variância 100 cm .
Qual a probabilidade de ser necessário selecionar exatamente 8 indivíduos até se observar o primeiro indivíduo mais baixo que 165 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolvê-la. A questão fala sobre alturas em Belo Horizonte que seguem uma distribuição normal com média de 175 cm e variância de 100 cm² (o que significa que o desvio padrão é 10 cm). Precisamos descobrir a probabilidade de precisar selecionar exatamente 8 pessoas até encontrar a primeira pessoa com altura menor que 165 cm.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição normal. A distribuição normal é simétrica e é definida por sua média ( mu) e desvio padrão ( sigma). Aqui, mu = 175 cm e sigma = 10 cm.

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de uma pessoa ter altura menor que 165 cm. Para isso, vamos padronizar esse valor usando o escore z:
z = X - musigma = 165 - 17510 = -1
Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que P(Z < -1) approx 0,1587. Isso significa que há aproximadamente 15,87% de chance de uma pessoa ter menos de 165 cm.

Passo 4

Agora, queremos que as primeiras 7 pessoas tenham altura maior ou igual a 165 cm e a 8ª pessoa tenha menos de 165 cm. A probabilidade de uma pessoa ter altura maior ou igual a 165 cm é 1 - 0,1587 = 0,8413.
Como cada seleção é independente, multiplicamos as probabilidades:
P = (0,8413)^7 times 0,1587

Passo 5

Vamos calcular:
(0,8413)^7 approx 0,8413^7 approx 0,3203
Então:
P approx 0,3203 times 0,1587 approx 0,0508

Resposta

A probabilidade de precisar selecionar exatamente 8 indivíduos até encontrar o primeiro com altura menor que 165 cm é aproximadamente 5,08%.

Exercícios relacionados