Considere que parafusos de uma montadora são produzidos em três fábricas: A,B e C. A fábrica A produz 40 % dos parafusos, a fábrica B produz 25 % dos parafusos e a fábrica C produz 35 % dos parafusos. Os diâmetros dos parafusos da fábrica A seguem uma distribuição normal com média 25 mm e variância 16 mm , os diâmetros dos parafusos da fábrica B seguem uma distribuição normal com média 20 mm e variância 25 mm e os diâmetros dos parafusos da fábrica C seguem uma distribuição normal com média 22 mm e variância 36 mm .
Um parafuso aleatório é selecionado da montadora, qual a probabilidade que seu diâmetro seja menor que 22 mm ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidades envolvendo parafusos produzidos por três fábricas diferentes: A, B e C. A ideia é descobrir qual a chance de um parafuso escolhido aleatoriamente ter diâmetro menor que 22 mm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade total e distribuições normais. Precisamos saber as porcentagens de produção de cada fábrica e as características das distribuições normais dos diâmetros que cada fábrica produz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a probabilidade total de um parafuso ter diâmetro menor que 22 mm é a soma das probabilidades de ele vir de cada fábrica multiplicadas pela chance de vir de cada uma delas. Isso porque as fábricas têm diferentes percentuais de produção.
Matematicamente, isso fica assim:
P(D < 22) = P(D < 22 | A) cdot P(A) + P(D < 22 | B) cdot P(B) + P(D < 22 | C) cdot P(C)

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades condicionais. Primeiro, para a fábrica A:
A fábrica A produz 40% dos parafusos, ou seja, P(A) = 0.40. Os diâmetros seguem uma distribuição normal com média muA = 25 mm e variância sigmaA^2 = 16 mm², então o desvio padrão é sigmaA = 4 mm.
Queremos P(D < 22 | A). Para isso, vamos transformar o valor 22 mm em um z-score, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão.
zA = 22 - 254 = -34 = -0.75
Usando a tabela ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos que P(Z < -0.75) approx 0.2266.
Então,
P(D < 22 | A) cdot P(A) = 0.2266 cdot 0.40 = 0.09064

Passo 4

Agora, vamos para a fábrica B:
A fábrica B produz 25% dos parafusos, ou seja, P(B) = 0.25. Os diâmetros seguem uma distribuição normal com média muB = 20 mm e variância sigmaB^2 = 25 mm², então o desvio padrão é sigmaB = 5 mm.
Queremos P(D < 22 | B).
zB = 22 - 205 = 25 = 0.4
Usando a tabela, P(Z < 0.4) approx 0.6554.
Então,
P(D < 22 | B) cdot P(B) = 0.6554 cdot 0.25 = 0.16385

Passo 5

Por fim, vamos para a fábrica C:
A fábrica C produz 35% dos parafusos, ou seja, P(C) = 0.35. Os diâmetros seguem uma distribuição normal com média muC = 22 mm e variância sigmaC^2 = 36 mm², então o desvio padrão é sigmaC = 6 mm.
Queremos P(D < 22 | C).
zC = 22 - 226 = 0
Sabemos que P(Z < 0) = 0.5.
Então,
P(D < 22 | C) cdot P(C) = 0.5 cdot 0.35 = 0.175

Resposta

Agora, somamos todas as probabilidades ponderadas:
P(D < 22) = 0.09064 + 0.16385 + 0.175 = 0.42949
Então, a probabilidade de um parafuso escolhido aleatoriamente ter diâmetro menor que 22 mm é aproximadamente 42,95%.

Exercícios relacionados