Considere que parafusos de uma montadora são produzidos em três fábricas: A,B e C. A fábrica A produz
dos parafusos, a fábrica B produz
dos parafusos e a fábrica C produz
dos parafusos. Os diâmetros dos parafusos da fábrica A seguem uma distribuição normal com média 25 mm e variância 16 mm , os diâmetros dos parafusos da fábrica
seguem uma distribuição normal com média 20 mm e variância 25 mm e os diâmetros dos parafusos da fábrica
seguem uma distribuição normal com média 22 mm e variância 36 mm .
Um parafuso aleatório é selecionado da montadora, qual a probabilidade que seu diâmetro seja menor que 22 mm ?
Um parafuso aleatório é selecionado da montadora, qual a probabilidade que seu diâmetro seja menor que 22 mm ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidades envolvendo parafusos produzidos por três fábricas diferentes: A, B e C. A ideia é descobrir qual a chance de um parafuso escolhido aleatoriamente ter diâmetro menor que 22 mm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade total e distribuições normais. Precisamos saber as porcentagens de produção de cada fábrica e as características das distribuições normais dos diâmetros que cada fábrica produz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a probabilidade total de um parafuso ter diâmetro menor que 22 mm é a soma das probabilidades de ele vir de cada fábrica multiplicadas pela chance de vir de cada uma delas. Isso porque as fábricas têm diferentes percentuais de produção.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades condicionais. Primeiro, para a fábrica A:
A fábrica A produz 40% dos parafusos, ou seja,
. Os diâmetros seguem uma distribuição normal com média
mm e variância
mm², então o desvio padrão é
mm.
Queremos
. Para isso, vamos transformar o valor 22 mm em um z-score, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão.
Usando a tabela ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos que
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos para a fábrica B:
A fábrica B produz 25% dos parafusos, ou seja,
. Os diâmetros seguem uma distribuição normal com média
mm e variância
mm², então o desvio padrão é
mm.
Queremos
.
Usando a tabela,
.
Então,
Passo 5
Por fim, vamos para a fábrica C:
A fábrica C produz 35% dos parafusos, ou seja,
. Os diâmetros seguem uma distribuição normal com média
mm e variância
mm², então o desvio padrão é
mm.
Queremos
.
Sabemos que
.
Então,
Resposta
Agora, somamos todas as probabilidades ponderadas:
Então, a probabilidade de um parafuso escolhido aleatoriamente ter diâmetro menor que 22 mm é aproximadamente 42,95%.