A idade das alunas desta sala segue uma distribuição normal com média= 24 e variância =25. A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média =22 e variância =16. Dado que na sala existem 24 homens e 16 mulheres:
Qual a probabilidade de, ao se escolher uma pessoa aleatoriamente, essa pessoa ter menos de 22 anos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sala com 24 meninos e 16 meninas. As idades dos meninos seguem uma distribuição normal com média de 22 anos e variância de 16 (ou seja, desvio padrão de 4 anos). Já as idades das meninas também seguem uma distribuição normal, mas com média de 24 anos e variância de 25 (desvio padrão de 5 anos). A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolhermos uma pessoa aleatoriamente dessa sala, ela ter menos de 22 anos?

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas pessoas tem na sala no total. Temos 24 meninos e 16 meninas, então no total são 24 + 16 = 40 pessoas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de escolher um menino ou uma menina. Como há 24 meninos em 40 pessoas, a probabilidade de escolher um menino é 24/40 = 0,6 (ou 60%). Já a probabilidade de escolher uma menina é 16/40 = 0,4 (ou 40%).

Passo 4

Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter menos de 22 anos, considerando se ela é menino ou menina. Vamos calcular separadamente para meninos e meninas e depois combinar esses resultados.

Passo 5

Para os meninos, a idade segue uma distribuição normal com média (μ) = 22 anos e desvio padrão (σ) = √16 = 4 anos. Queremos saber a probabilidade de um menino ter menos de 22 anos, ou seja, P(X < 22).
Sabemos que, em uma distribuição normal, a média divide a distribuição exatamente pela metade. Então, P(X < 22) para os meninos é 50%, ou seja, 0,5.

Passo 6

Para as meninas, a idade segue uma distribuição normal com média (μ) = 24 anos e desvio padrão (σ) = √25 = 5 anos. Queremos saber a probabilidade de uma menina ter menos de 22 anos, ou seja, P(X < 22).
Para isso, usamos a fórmula do Z-score:
Z = X - musigma
Substituindo os valores:
Z = 22 - 245 = -25 = -0,4
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a Z = -0,4. Essa probabilidade é aproximadamente 0,3446, ou 34,46%.

Passo 7

Agora, vamos combinar as probabilidades considerando a chance de escolher um menino ou uma menina:
P(menos de 22 anos) = P(menino) times P(X < 22 | menino) + P(menina) times P(X < 22 | menina)
Substituindo os valores:
P = 0,6 times 0,5 + 0,4 times 0,3446
P = 0,3 + 0,1378
P = 0,4378

Resposta

A probabilidade de, ao escolher uma pessoa aleatoriamente, essa pessoa ter menos de 22 anos é de aproximadamente 43,78%.

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