A idade das alunas desta sala segue uma distribuição normal com média= 24 e variância
. A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média
e variância
. Dado que na sala existem 24 homens e 16 mulheres:
Qual a probabilidade de, ao se escolher uma pessoa aleatoriamente, essa pessoa ter menos de 22 anos?
Qual a probabilidade de, ao se escolher uma pessoa aleatoriamente, essa pessoa ter menos de 22 anos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sala com 24 meninos e 16 meninas. As idades dos meninos seguem uma distribuição normal com média de 22 anos e variância de 16 (ou seja, desvio padrão de 4 anos). Já as idades das meninas também seguem uma distribuição normal, mas com média de 24 anos e variância de 25 (desvio padrão de 5 anos). A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolhermos uma pessoa aleatoriamente dessa sala, ela ter menos de 22 anos?
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas pessoas tem na sala no total. Temos 24 meninos e 16 meninas, então no total são 24 + 16 = 40 pessoas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de escolher um menino ou uma menina. Como há 24 meninos em 40 pessoas, a probabilidade de escolher um menino é 24/40 = 0,6 (ou 60%). Já a probabilidade de escolher uma menina é 16/40 = 0,4 (ou 40%).
Passo 4
Precisamos descobrir a probabilidade de uma pessoa ter menos de 22 anos, considerando se ela é menino ou menina. Vamos calcular separadamente para meninos e meninas e depois combinar esses resultados.
Passo 5
Para os meninos, a idade segue uma distribuição normal com média (μ) = 22 anos e desvio padrão (σ) = √16 = 4 anos. Queremos saber a probabilidade de um menino ter menos de 22 anos, ou seja, P(X < 22).
Sabemos que, em uma distribuição normal, a média divide a distribuição exatamente pela metade. Então, P(X < 22) para os meninos é 50%, ou seja, 0,5.
Passo 6
Para as meninas, a idade segue uma distribuição normal com média (μ) = 24 anos e desvio padrão (σ) = √25 = 5 anos. Queremos saber a probabilidade de uma menina ter menos de 22 anos, ou seja, P(X < 22).
Para isso, usamos a fórmula do Z-score:
Substituindo os valores:
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a Z = -0,4. Essa probabilidade é aproximadamente 0,3446, ou 34,46%.
Passo 7
Agora, vamos combinar as probabilidades considerando a chance de escolher um menino ou uma menina:
Substituindo os valores:
Resposta
A probabilidade de, ao escolher uma pessoa aleatoriamente, essa pessoa ter menos de 22 anos é de aproximadamente 43,78%.