A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média
20 e variância
.
Qual a probabilidade de ser necessário conversar com 4 pessoas até se conversar com alguém mais velho que 24 anos?
Qual a probabilidade de ser necessário conversar com 4 pessoas até se conversar com alguém mais velho que 24 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as idades dos alunos de uma sala que seguem uma distribuição normal com média (
) igual a 20 anos e variância (
) igual a 16 anos. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de precisar conversar com 4 pessoas até encontrar alguém com mais de 24 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade de eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de uma pessoa ser mais velha que 24 anos. Como as idades seguem uma distribuição normal, usaremos a fórmula do escore z para encontrar essa probabilidade.
A fórmula do escore z é:
onde:
-
é o valor que estamos avaliando (24 anos), -
é a média (20 anos), -
é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. Como , então .
Vamos calcular o z:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de um z ser maior que 1. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, sabemos que:
Então, a probabilidade de uma pessoa ser mais velha que 24 anos é aproximadamente 15,87%.
Passo 3
Queremos a probabilidade de precisar conversar com 4 pessoas até encontrar a primeira pessoa com mais de 24 anos. Isso significa que as primeiras 3 pessoas devem ter 24 anos ou menos, e a 4ª pessoa deve ter mais de 24 anos.
Vamos chamar:
-
= probabilidade de uma pessoa ser mais velha que 24 anos = 0,1587 -
= probabilidade de uma pessoa ter 24 anos ou menos = 1 - p = 0,8413
Como cada conversa é independente, a probabilidade total é:
Vamos calcular:
Resposta
A probabilidade de precisar conversar com 4 pessoas até encontrar alguém com mais de 24 anos é aproximadamente 9,43%.