A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média = 20 e variância =16.
Qual a probabilidade de ser necessário conversar com 4 pessoas até se conversar com alguém mais velho que 24 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as idades dos alunos de uma sala que seguem uma distribuição normal com média ( mu) igual a 20 anos e variância ( sigma^2) igual a 16 anos. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de precisar conversar com 4 pessoas até encontrar alguém com mais de 24 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e probabilidade de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de uma pessoa ser mais velha que 24 anos. Como as idades seguem uma distribuição normal, usaremos a fórmula do escore z para encontrar essa probabilidade.
A fórmula do escore z é:
z = X - musigma
onde:
  • X é o valor que estamos avaliando (24 anos),
  • mu é a média (20 anos),
  • sigma é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. Como sigma^2 = 16, então sigma = 4.
Vamos calcular o z:
z = 24 - 204 = 44 = 1
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de um z ser maior que 1. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, sabemos que:
P(Z > 1) approx 0,1587
Então, a probabilidade de uma pessoa ser mais velha que 24 anos é aproximadamente 15,87%.

Passo 3

Queremos a probabilidade de precisar conversar com 4 pessoas até encontrar a primeira pessoa com mais de 24 anos. Isso significa que as primeiras 3 pessoas devem ter 24 anos ou menos, e a 4ª pessoa deve ter mais de 24 anos.
Vamos chamar:
  • p = probabilidade de uma pessoa ser mais velha que 24 anos = 0,1587
  • q = probabilidade de uma pessoa ter 24 anos ou menos = 1 - p = 0,8413
Como cada conversa é independente, a probabilidade total é:
P = q^3 times p = (0,8413)^3 times 0,1587
Vamos calcular:
P = 0,8413 times 0,8413 times 0,8413 times 0,1587 approx 0,8413^3 times 0,1587 approx 0,595 times 0,1587 approx 0,0943

Resposta

A probabilidade de precisar conversar com 4 pessoas até encontrar alguém com mais de 24 anos é aproximadamente 9,43%.

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