Quando analisamos altura, a população de Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média 175 cm e variância 100 cm .
Qual a probabilidade de ser necessário coletar exatamente 8 indivíduos até se observar o terceiro indivíduo maior que 190 cm OU menor que 165 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a altura das pessoas em Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média de 175 cm e variância de 100 cm² (o que significa que o desvio padrão é 10 cm). O problema quer saber qual é a probabilidade de precisar coletar exatamente 8 pessoas para encontrar o terceiro indivíduo que seja maior que 190 cm ou menor que 165 cm. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma única pessoa ser maior que 190 cm ou menor que 165 cm. Isso envolve encontrar duas probabilidades separadas e somá-las, já que esses eventos são mutuamente exclusivos.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ser maior que 190 cm.
Como a altura segue uma distribuição normal com média (μ) de 175 cm e desvio padrão (σ) de 10 cm, podemos padronizar usando a fórmula do valor z:
z = X - musigma = 190 - 17510 = 1,5
Agora, queremos encontrar $ P(Z > 1,5) $. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que $ P(Z > 1,5) $ é aproximadamente 0,0668.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ser menor que 165 cm. Usando a mesma fórmula de z:
z = 165 - 17510 = -1
Queremos encontrar $ P(Z < -1) $. Pela tabela da distribuição normal padrão, isso é aproximadamente 0,1587.

Passo 5

Agora, somamos as duas probabilidades para encontrar a probabilidade total de uma pessoa ser maior que 190 cm ou menor que 165 cm:
p = P(X > 190) + P(X < 165) = 0,0668 + 0,1587 = 0,2255

Passo 6

A questão pede a probabilidade de precisar coletar exatamente 8 pessoas para encontrar o terceiro indivíduo que atende a essa condição. Isso é um caso de distribuição binomial negativa, onde queremos a probabilidade de que o terceiro sucesso ocorra no oitavo ensaio.
A fórmula para isso é:
P = binomn-1k-1 cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 8 $ (número total de pessoas coletadas)
  • $ k = 3 $ (terceiro sucesso)
  • $ p = 0,2255 $ (probabilidade de sucesso em cada ensaio)

Passo 7

Calculando o coeficiente binomial:
binom72 = 7!2!(7-2)! = 7 times 62 times 1 = 21
Agora, substituímos na fórmula:
P = 21 cdot (0,2255)^3 cdot (1-0,2255)^5

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
(0,2255)^3 approx 0,0115
(0,7745)^5 approx 0,279
Multiplicando tudo:
P approx 21 cdot 0,0115 cdot 0,279 approx 0,067

Resposta

A probabilidade de precisar coletar exatamente 8 indivíduos para observar o terceiro que seja maior que 190 cm ou menor que 165 cm é aproximadamente 6,7%.

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