Quando analisamos altura, a população de Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média 175 cm e variância 100 cm .
Qual a probabilidade de ser necessário coletar exatamente 8 indivíduos até se observar o terceiro indivíduo maior que 190 cm OU menor que 165 cm ?
Qual a probabilidade de ser necessário coletar exatamente 8 indivíduos até se observar o terceiro indivíduo maior que 190 cm OU menor que 165 cm ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a altura das pessoas em Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média de 175 cm e variância de 100 cm² (o que significa que o desvio padrão é 10 cm). O problema quer saber qual é a probabilidade de precisar coletar exatamente 8 pessoas para encontrar o terceiro indivíduo que seja maior que 190 cm ou menor que 165 cm. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma única pessoa ser maior que 190 cm ou menor que 165 cm. Isso envolve encontrar duas probabilidades separadas e somá-las, já que esses eventos são mutuamente exclusivos.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ser maior que 190 cm.
Como a altura segue uma distribuição normal com média (μ) de 175 cm e desvio padrão (σ) de 10 cm, podemos padronizar usando a fórmula do valor z:
Como a altura segue uma distribuição normal com média (μ) de 175 cm e desvio padrão (σ) de 10 cm, podemos padronizar usando a fórmula do valor z:
Agora, queremos encontrar $ P(Z > 1,5) $. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que $ P(Z > 1,5) $ é aproximadamente 0,0668.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ser menor que 165 cm. Usando a mesma fórmula de z:
Queremos encontrar $ P(Z < -1) $. Pela tabela da distribuição normal padrão, isso é aproximadamente 0,1587.
Passo 5
Agora, somamos as duas probabilidades para encontrar a probabilidade total de uma pessoa ser maior que 190 cm ou menor que 165 cm:
Passo 6
A questão pede a probabilidade de precisar coletar exatamente 8 pessoas para encontrar o terceiro indivíduo que atende a essa condição. Isso é um caso de distribuição binomial negativa, onde queremos a probabilidade de que o terceiro sucesso ocorra no oitavo ensaio.
A fórmula para isso é:
Onde:
- $ n = 8 $ (número total de pessoas coletadas)
- $ k = 3 $ (terceiro sucesso)
- $ p = 0,2255 $ (probabilidade de sucesso em cada ensaio)
Passo 7
Calculando o coeficiente binomial:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de precisar coletar exatamente 8 indivíduos para observar o terceiro que seja maior que 190 cm ou menor que 165 cm é aproximadamente 6,7%.