Quando analisamos altura, a população de Belo Horizonte segue uma distribuição normal com média 175 cm e variância 100 cm .
Se coletarmos 10 indivíduos dessa população, qual a probabilidade de ao menos um ter altura maior que 190 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre a altura das pessoas em Belo Horizonte, que segue uma distribuição normal com média de 175 cm e variância de 100 cm². A gente precisa descobrir a probabilidade de, ao escolhermos 10 pessoas dessa população, pelo menos uma delas ter uma altura maior que 190 cm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal, desvio padrão, probabilidade cumulativa e probabilidade complementar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variância é o quadrado do desvio padrão. Então, se a variância é 100 cm², o desvio padrão (σ) é:
σ = raiz100 = 10 cm

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de uma pessoa ter altura maior que 190 cm. Para isso, vamos padronizar essa altura usando o z-score, que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média.
A fórmula do z-score é:
z = X - muσ
Onde:
  • $ X $ é o valor que estamos analisando (190 cm)
  • $ \mu $ é a média (175 cm)
  • $ σ $ é o desvio padrão (10 cm)
Então:
X

Passo 4

Com o z-score calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a $ z = 1,5 $ na tabela da distribuição normal padrão. Essa tabela nos dá a probabilidade de uma variável aleatória ser menor que um certo valor z.
Consultando a tabela, encontramos que:
z = 1,5
Isso significa que a probabilidade de uma pessoa ter altura menor que 190 cm é de aproximadamente 93,32%.

Passo 5

Mas a gente quer a probabilidade de ter altura maior que 190 cm. Para isso, usamos a probabilidade complementar:
P(Z > 1,5) = 1 - P(Z < 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668
Então, a probabilidade de uma pessoa ter altura maior que 190 cm é de aproximadamente 6,68%.

Passo 6

Agora, queremos saber a probabilidade de, em 10 pessoas, pelo menos uma ter altura maior que 190 cm. Em vez de calcular todas as combinações possíveis, vamos usar uma abordagem mais simples: calcular a probabilidade complementar de nenhuma das 10 pessoas ter altura maior que 190 cm e depois subtrair esse valor de 1.
A probabilidade de uma pessoa não ter altura maior que 190 cm é de 93,32% ou 0,9332. Então, a probabilidade de 10 pessoas nenhuma ter altura maior que 190 cm é:
P(nenhuma) = (0,9332)^10 approx 0,5013

Passo 7

Finalmente, a probabilidade de pelo menos uma das 10 pessoas ter altura maior que 190 cm é:
P(pelo menos uma) = 1 - P(nenhuma) = 1 - 0,5013 = 0,4987

Resposta

A probabilidade de, ao escolher 10 pessoas, pelo menos uma ter altura maior que 190 cm é de aproximadamente 49,87%.

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