A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média
20 e variância
.
Ao se escolher 10 pessoas dessa sala de forma aleatória e com reposição, qual a probabilidade de se conversar com exatamente 4 pessoas mais novas que 23 anos?
Ao se escolher 10 pessoas dessa sala de forma aleatória e com reposição, qual a probabilidade de se conversar com exatamente 4 pessoas mais novas que 23 anos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a idade dos alunos segue uma distribuição normal com média 20 anos e variância 16. Ou seja, o desvio padrão é
anos. A situação é a seguinte: vamos escolher 10 pessoas de forma aleatória e com reposição (o que significa que cada escolha é independente). Queremos descobrir qual a probabilidade de exatamente 4 dessas pessoas serem mais novas que 23 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma única pessoa ser mais nova que 23 anos. Como a distribuição é normal, vamos padronizar esse valor usando a fórmula do escore z:
Aqui,
,
e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z. Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, vemos que a probabilidade de
é aproximadamente 0,7734. Isso significa que a probabilidade de uma pessoa ser mais nova que 23 anos é de 77,34%.
Passo 4
Com essa probabilidade individual, vamos agora calcular a probabilidade de exatamente 4 pessoas serem mais novas que 23 anos em um grupo de 10. Para isso, usamos a distribuição binomial, que é adequada quando temos uma série de tentativas independentes com dois possíveis resultados (sucesso ou falha).
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
(número de tentativas) -
(número de sucessos desejados) -
(probabilidade de sucesso em cada tentativa)
Passo 5
Vamos calcular agora cada parte da fórmula:
-
Coeficiente binomial
: -
Probabilidade dos sucessos
: -
Probabilidade das falhas
:
Passo 6
Agora, multiplicamos esses valores:
Resposta
A probabilidade de conversar com exatamente 4 pessoas mais novas que 23 anos é aproximadamente 2,24%.