A idade dos alunos desta sala segue uma distribuição normal com média = 20 e variância =16.
Ao se escolher 10 pessoas dessa sala de forma aleatória e com reposição, qual a probabilidade de se conversar com exatamente 4 pessoas mais novas que 23 anos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a idade dos alunos segue uma distribuição normal com média 20 anos e variância 16. Ou seja, o desvio padrão é raiz16 = 4 anos. A situação é a seguinte: vamos escolher 10 pessoas de forma aleatória e com reposição (o que significa que cada escolha é independente). Queremos descobrir qual a probabilidade de exatamente 4 dessas pessoas serem mais novas que 23 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma única pessoa ser mais nova que 23 anos. Como a distribuição é normal, vamos padronizar esse valor usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Aqui, X = 23, mu = 20 e sigma = 4. Então:
z = 23 - 204 = 34 = 0,75

Passo 3

Agora, vamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z. Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, vemos que a probabilidade de Z < 0,75 é aproximadamente 0,7734. Isso significa que a probabilidade de uma pessoa ser mais nova que 23 anos é de 77,34%.

Passo 4

Com essa probabilidade individual, vamos agora calcular a probabilidade de exatamente 4 pessoas serem mais novas que 23 anos em um grupo de 10. Para isso, usamos a distribuição binomial, que é adequada quando temos uma série de tentativas independentes com dois possíveis resultados (sucesso ou falha).
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n = 10 (número de tentativas)
  • k = 4 (número de sucessos desejados)
  • p = 0,7734 (probabilidade de sucesso em cada tentativa)

Passo 5

Vamos calcular agora cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial binom104:
    binom104 = 10!4!(10-4)! = 10 times 9 times 8 times 74 times 3 times 2 times 1 = 210
  2. Probabilidade dos sucessos p^k:
    (0,7734)^4 approx 0,7734^4 approx 0,3552
  3. Probabilidade das falhas (1-p)^n-k:
    (1 - 0,7734)^6 = (0,2266)^6 approx 0,2266^6 approx 0,0003

Passo 6

Agora, multiplicamos esses valores:
P(X = 4) = 210 times 0,3552 times 0,0003 approx 210 times 0,00010656 approx 0,02238

Resposta

A probabilidade de conversar com exatamente 4 pessoas mais novas que 23 anos é aproximadamente 2,24%.

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