Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
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(b)
.
(c)
.
(d)
.
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Temos quatro séries alternadas e queremos verificar para cada uma se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, se é absoluta ou condicional. Vamos usar basicamente três testes: o teste da raiz (ou razão) para convergência absoluta e o critério de Leibniz (série alternada com termos que vão a zero e são decrescentes) para convergência condicional.
Passo 2
Analisando (a)
.
Para a convergência absoluta, aplicamos o teste da raiz:
Para a convergência absoluta, aplicamos o teste da raiz:
Logo a série dos valores absolutos diverge. Além disso, o termo geral
não tende a zero (pois cresce aproximadamente como ), então a série original diverge.
não tende a zero (pois cresce aproximadamente como
Passo 3
Analisando (b)
.
O termo positivo
O termo positivo
é decrescente para
grande e satisfaz
. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Para a convergência absoluta, comparamos
a uma
-série com
. Logo converge absolutamente.
Para a convergência absoluta, comparamos
Passo 4
Analisando (c)
.
Definindo
Definindo
vemos que
é decrescente para
grande e
, então pelo critério de Leibniz a série alternada converge.
Porém a série dos valores absolutos se comporta como , que diverge. Portanto é convergência condicional.
Porém a série dos valores absolutos se comporta como
Passo 5
Analisando (d)
.
Para a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão aos termos positivos
Para a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão aos termos positivos
Logo convergência absoluta e, portanto, a série original converge.
Resposta
(a) Diverge.
(b) Converge absolutamente.
(c) Converge condicionalmente.
(d) Converge absolutamente.
(b) Converge absolutamente.
(c) Converge condicionalmente.
(d) Converge absolutamente.