Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}(\frac{3 n}{2 n+1})^{n}.
(b) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n^{3}-n+5}.
(c) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{n!}.

Passo 1

Temos quatro séries alternadas e queremos verificar para cada uma se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, se é absoluta ou condicional. Vamos usar basicamente três testes: o teste da raiz (ou razão) para convergência absoluta e o critério de Leibniz (série alternada com termos que vão a zero e são decrescentes) para convergência condicional.

Passo 2

Analisando (a) \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\biggl(\frac{3n}{2n+1}\biggr)^{n}.
Para a convergência absoluta, aplicamos o teste da raiz:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\biggl(\frac{3n}{2n+1}\biggr)^{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{2n+1} =\frac{3}{2}>1.
Logo a série dos valores absolutos diverge. Além disso, o termo geral
\bigl(\tfrac{3n}{2n+1}\bigr)^{n}
não tende a zero (pois cresce aproximadamente como (3/2)^n), então a série original diverge.

Passo 3

Analisando (b) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n^{3}-n+5}.
O termo positivo
a_n=\frac{n}{n^3-n+5} \sim\frac{1}{n^2}
é decrescente para n grande e satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=0. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Para a convergência absoluta, comparamos
\sum a_n a uma p-série com p=2>1. Logo converge absolutamente.

Passo 4

Analisando (c) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}.
Definindo
a_n=\frac{n^2+1}{n^3+1}\sim\frac{1}{n},
vemos que a_n é decrescente para n grande e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então pelo critério de Leibniz a série alternada converge.
Porém a série dos valores absolutos se comporta como \sum1/n, que diverge. Portanto é convergência condicional.

Passo 5

Analisando (d) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n-1}}{n!}.
Para a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão aos termos positivos
b_n=\frac{2^{n-1}}{n!},\quad \frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{2^n/(n+1)!}{2^{n-1}/n!} =\frac{2}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0<1.
Logo convergência absoluta e, portanto, a série original converge.

Resposta

(a) Diverge.
(b) Converge absolutamente.
(c) Converge condicionalmente.
(d) Converge absolutamente.

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