Aplicar o critério de comparação para determinar a convergência ou não das seguintes séries numéricas de termos positivos:
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência das séries de termos positivos
O conteúdo principal envolve: séries
(p-series), série geométrica, teste da comparação de limite e decomposição telescópica.
Passo 2
Para
fazemos comparação de limite com a série p de termo geral . Calculamos
fazemos comparação de limite com a série p de termo geral
Como
converge (é p-série com
) e o limite é finito e não nulo, nossa série converge também.
Passo 3
Para
usamos o mesmo critério comparando com :
usamos o mesmo critério comparando com
De novo o limite é finito e não nulo, e
converge, logo essa série também converge.
Passo 4
Para
observamos que, para grande,
.
Formalmente, comparando com :
observamos que, para
Formalmente, comparando com
Como
diverge (série harmônica) e o limite é finito e não nulo, nossa série diverge.
Passo 5
Para
note que para todo temos
,
logo
.
E é geométrica com razão
, portanto converge. Pelo teste da comparação direta, a série dada também converge.
note que para todo
logo
E
Passo 6
Para
fazemos decomposição em frações parciais:
fazemos decomposição em frações parciais:
Assim o
-ésimo somatório é
que tende a
quando
. Logo converge (é telescópica).
Passo 7
Para
observe que, para ,
, então
observe que, para
Mas
diverge, e termos maiores que uma série divergente implicam divergência. Logo esta série diverge.
Resposta
(a) Converge
(b) Converge
(c) Diverge
(d) Converge
(e) Converge
(f) Diverge
(b) Converge
(c) Diverge
(d) Converge
(e) Converge
(f) Diverge