Aplicar o critério de comparação para determinar a convergência ou não das seguintes séries numéricas de termos positivos:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+3 n+1}.
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+7}{2 n^{4}-n+3}.
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{n^{2}+1}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+3}.
(e) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n(n-1)}.
(f) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência das séries de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{4}+3n+1},\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+7}{2n^{4}-n+3},\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{n^{2}+1},\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+3},\quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n(n-1)},\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n}\,.
O conteúdo principal envolve: séries p (p-series), série geométrica, teste da comparação de limite e decomposição telescópica.

Passo 2

Para
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{4}+3n+1}
fazemos comparação de limite com a série p de termo geral 1/n^{2}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{2}+1}{n^{4}+3n+1}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(n^{2}+1)}{n^{4}+3n+1} =1.
Como \sum1/n^{2} converge (é p-série com p=2>1) e o limite é finito e não nulo, nossa série converge também.

Passo 3

Para
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+7}{2n^{4}-n+3}
usamos o mesmo critério comparando com 1/n^{2}:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{2}+7}{2n^{4}-n+3}}{\frac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(n^{2}+7)}{2n^{4}-n+3} =\frac{1}{2}.
De novo o limite é finito e não nulo, e \sum1/n^{2} converge, logo essa série também converge.

Passo 4

Para
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{n^{2}+1}
observamos que, para n grande,
\frac{2n-1}{n^{2}+1}\sim \frac{2n}{n^{2}}=\frac{2}{n}.
Formalmente, comparando com \sum1/n:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n-1}{n^{2}+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(2n-1)}{n^{2}+1} =2.
Como \sum1/n diverge (série harmônica) e o limite é finito e não nulo, nossa série diverge.

Passo 5

Para
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}+3}
note que para todo n temos
\displaystyle 2^{n}+3>2^{n},
logo
\displaystyle 0<\frac{1}{2^{n}+3}<\frac{1}{2^{n}}.
E \sum1/2^{n} é geométrica com razão 1/2<1, portanto converge. Pelo teste da comparação direta, a série dada também converge.

Passo 6

Para
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n(n-1)}
fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{2}{n(n-1)} =2\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\Bigr).
Assim o N-ésimo somatório é
S_{N}=2\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\Bigr) =2\Bigl(1-\frac{1}{N}\Bigr),
que tende a 2 quando N\to\infty. Logo converge (é telescópica).

Passo 7

Para
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}
observe que, para n\ge2, \ln(n+1)\ge1, então
\frac{\ln(n+1)}{n}\ge\frac{1}{n}.
Mas \sum1/n diverge, e termos maiores que uma série divergente implicam divergência. Logo esta série diverge.

Resposta

(a) Converge
(b) Converge
(c) Diverge
(d) Converge
(e) Converge
(f) Diverge

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