Ao analisar o limite de uma função f(x, y), podemos afirmar Verdadeiro ou Falso:
lim (x, y) (0,0) x^wed>= 3+y^wed>= 3 / x-y existe.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de duas variáveis lim(x,y)to(0,0) x^3 + y^3x - y. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar fatoração de soma de cubos e teste por diferentes caminhos para ver se o valor é único.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a soma de cubos para reescrever a expressão. Usamos a identidade x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2).
A partir disso temos:
x^3 + y^3x - y = (x+y)(x^2 - xy + y^2)x - y

Passo 3

Para ver se o limite é independente do caminho, analisamos primeiro as retas y = kx com kneq1. Substituindo:
f(x,kx) = x^3 + k^3 x^3x - kx = x^2 1 + k^31 - k
Como x^2to0 quando xto0, em qualquer reta y=kx,,kneq1, o valor tende a 0.

Passo 4

Agora escolhemos um caminho curvo que faz o denominador anular num ritmo diferente: y = x + a x^3, com aneq0. Primeiro expandimos:
(x + a x^3)^3 = x^3 + 3a x^5 + 3a^2 x^7 + a^3 x^9,
x^3 + (x + a x^3)^3 = 2x^3 + 3a x^5 + dots
E o denominador:
x - (x + a x^3) = -a x^3
Logo,
x^3 + (x + a x^3)^3x - (x + a x^3) = 2x^3 + 3a x^5 + dots-a x^3 = -2a + o(1)
Isso tende a -2/a, que varia com a.

Passo 5

Como diferentes caminhos dão limites distintos (por exemplo, -2 se a=1 ou -1 se a=2), concluímos que o limite não é único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados